MATHS-LYCEEDans chaque cas, déterminer l'image de $-3$ par $f$ définie sur $\mathbb{R}$ puis le ou les antécédents de $3$ par $f$ et contrôler les résultats avec la calculatrice puis avec la représentation graphique de $f$ donnée dans chaque cas.
- $f(x)=2x^2-5$
Calcul d'une image
Pour calculer l'image d'un nombre $\alpha$ appartenant à l'ensemble de définition de $f$ il faut remplacer $x$ par la valeur $\alpha$ dans l'expression de $f$.
Par exemple si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+5x-1$ alors l'image de $-2$ par $f$ est:
$f(-2)=-2\times (-2)^2+5\times (-2)-1$
$\phantom{f(-2)}=-8-10-1$
$\phantom{f(-2)}=-2\times 4-10-1$
$\phantom{f(-2)}=-19$
Remarque: On peut calculer des images en utilisant le MENU TABLE de la calculatrice.
Il faut remplacer $x$ par $-3$ dans l'expression de $f$ pour calculer $f(-3)$.
Graphiquement, on cherche l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $-3$
Il faut résoudre l'équation $f(x)=3$$f(-3)=2\times (-3)^2-5=18-5=13$ ne pas oublier les parenthèses $(-3)^2=9$ mais $-3^2=-9$
Pour déterminer le ou les antécédents de $3$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=3$
$f(x)=3\Longleftrightarrow 2x^2-5=3$
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow 2x^2=8$
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow x^2=4$
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow x=\sqrt{4}$ ou $x=-\sqrt{4}$ il y a deux possibilités avec le carré
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow x=2$ ou $x=-2$
Graphiquement, le point de la courbe d'abscisse $-3$ a bien pour ordonnée 13 et les points de la courbe dont l'ordonnée est 3 ont pour abscisses $-2$ et $2$.
Avec la calculatrice et le MENU TABLE, on saisit l'expression de $f$ dans Y1 puis dans TABLE, en plaçant le curseur sur la colonne X, en saisissant $x=-3$ on vérifie que Y1=13. De même, on vérifie ensuite que pour $x=-2$, on a Y1=3 et que pour $x=2$ Y1=3 également. - $f(x)=-3x^2+2x+3$
Il faut remplacer $x$ par $-3$ dans l'expression de $f$ pour calculer $f(-3)$.
Il faut résoudre l'équation $f(x)=3$ en se ramenant à un produit de facteurs nuls$f(-3)=-3\times (-3)^2+2\times (-3)+3=-27-6+3=-30$
Pour déterminer le ou les antécédents de $3$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=3$
$f(x)=3\Longleftrightarrow -3x^2+2x+3=3$
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow -3x^2+2x+3-3=0$
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow -3x^2+2x=0$
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow x(-3x+2)=0$
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow x=0$ ou $-3x+2=0$ un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow x=0$ ou $x=\dfrac{2}{3}$
Graphiquement, le point de la courbe d'abscisse $-3$ a bien pour ordonnée 26 et les points de la courbe dont l'ordonnée est 3 ont pour abscisses $0$ et $\dfrac{2}{3}$.
Avec la calculatrice et le MENU TABLE, on saisit l'expression de $f$ dans Y1 puis dans TABLE, en plaçant le curseur sur la colonne X, en saisissant $x=-3$ on vérifie que Y1=$-30$. De même, on vérifie ensuite que pour $x=0$, on a Y1=3 et que pour $x=\dfrac{2}{3}$ on a également Y1=3. - $f(x)=2x^2+8$
$f(-3)=2\times (-3)^2+8=18+8=26$
Pour déterminer le ou les antécédents de $3$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=3$
$f(x)=3\Longleftrightarrow 2x^2+8=3$
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow 2x^2=-5$
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{-5}{2}$
Un carré est toujours positif donc cette équation n'a pas de solution.
Graphiquement, le point de la courbe d'abscisse $-3$ a bien pour ordonnée 26 et il n'y a aucun point de la courbe dont l'ordonnée est 3.
Avec la calculatrice et le MENU TABLE, on saisit l'expression de $f$ dans Y1 puis dans TABLE, en plaçant le curseur sur la colonne X, en saisissant $x=-3$ on vérifie que Y1=26.
devoir nº 114
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Devoir fin de chapitre
- lectures graphiques
- calculs avec l'expression de f
- problème avec une fonction
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