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  2. chapitre 6 Produit scalaire
  3. exercice corrigé nº869
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Dans chaque cas, calculer le produit scalaire des vecteurs $ \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{v}$, l'unité étant définie par un carreau du quadrillage.
  1. .

    Rappel de cours

    Produit scalaire et projeté orthogonal

    Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
    Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
    et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)

    Aide

    On peut définir les points $A$, $B$ et $C$ tels que $ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{AC}$
    Construire le projeté orthogonal de $H$ sur $(AB)$

    Solution

    Si on note $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{v}$
    $H$ est le projeté orthogonal du point C sur $(AB)$ (voir figure)

    $\widehat{BAC}$ est un angle aigu donc $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}>0$ et on a:
    $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=AB\times AH$
    $\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}}=3 \times 2$
    $\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}}=6$
  2. .

    Aide

    On peut définir les points $A$, $B$ et $C$ tels que $ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{AC}$
    Construire le projeté orthogonal de $H$ sur $(AB)$
    $\widehat{BAC}$ est obtus

    Solution

    Si on note $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{v}$
    $C'$ est le projeté orthogonal du point $H$ sur $(AB)$ (voir figure)

    $\widehat{BAC}$ est un angle obtus donc $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}<0$ et on a:

    $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=-AB\times AH$
    $\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}}=-4 \times 2$
    $\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}}=-8$
  3. .

    Aide

    construire le point $B$ tel que $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{u}$

    Solution

    Si on note $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{v}$
    On construit le point $B$ tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{CB}$
    $H$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur $(AC)$ (voir figure)

    $\widehat{BAC}$ est un angle obtus donc $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}<0$ et on a:

    $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=-AC\times AH$
    $\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}}=-3,5 \times 2,5$
    $\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}}=-8,75$

devoir nº 893


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Devoir produit scalaire

- utiliser les différentes expressions du produit scalaire
- calculs avec le produit scalaire
- problème ouvert

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