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  2. chapitre 6 Produit scalaire
  3. exercice corrigé nº877
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$ \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow {v}$ sont deux vecteurs orthogonaux tels que $|| \overrightarrow{u}||=|| \overrightarrow{v}||=5$
  1. Calculer $|| \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}||^2$

    Rappel de cours

    Carré scalaire

    $\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2$

    Propriétés du produit scalaire

    Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
    $(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$

    $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$

    Orthogonalité

    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

    Aide

    Développer $|| \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}||^2=( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})$
    Utiliser ensuite l'orthogonalité des vecteurs $ \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{v}$

    Solution

    $ \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow {v}$ sont deux vecteurs orthogonaux
    donc $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=0$
    $|| \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}||^2$
    $= ( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})^2$
    $=( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})$
    $= \overrightarrow{u}^2+2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}+ \overrightarrow{v}^2$
    $= \overrightarrow{u}^2+ \overrightarrow{v}^2$
    $=5^2+5^2$
    $=50$
  2. Calculer $( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}-2 \overrightarrow{v})$

    Rappel de cours

    Orthogonalité

    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

    Aide

    Développer l'expression et utiliser les données de l'énoncé notamment l'orthogonalité des deux vecteurs

    Solution

    $( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}-2 \overrightarrow{v})$
    $= \overrightarrow{u}. \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}. \overrightarrow{u}- \overrightarrow{u}.(2 \overrightarrow{v})- \overrightarrow{v}.(2 \overrightarrow{v})$
    $=|| \overrightarrow{u}||^2+ \overrightarrow{v}. \overrightarrow{u}-2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-2 \overrightarrow{v}. \overrightarrow{v}$
    $=|| \overrightarrow{u}||^2+ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-2|| \overrightarrow{v}||^2$
    $=5^2+0+0-2\times 5^2$
    $=-25$

devoir nº 892


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Utiliser les différentes expressions et les propriétés algébriques

- utiliser la bonne expression pour calculer un produit scalaire
- calculs avec le produit scalaire et vecteurs orthogonaux
- calcul d'un angle dans un triangle

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