MATHS-LYCEELe plan est muni d'un repère orthonormé.
- Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(2;1)$ et $B(-1;4)$.
Coordonnées d'un vecteur
Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ alors $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$
Sur la figure ci-dessus $\overrightarrow{u}(4;2)$Déterminer une équation cartésienne
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
Méthode 1
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
- $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$
Méthode 2
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
- $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)$\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(AB)$$\begin{cases} x_B-x_A=-1-2=-3\\ y_B-y_A=4-1=3 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AB}(-3;3)$
Le vecteur $ \overrightarrow{AB}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(AB)$
donc $a=3$ et $-b=-3$ soit $b=3$
Une équation cartésienne de $(AB)$ est de la forme $3x+3y+c=0$
$A\in (AB)\Longleftrightarrow 3x_A+3y_A+c=0\Longleftrightarrow 6+3+c=0 \Longleftrightarrow c=-9$
$3x+3y-9=0\Longleftrightarrow x+y-3=0$(en divisant tous les termes par $3$)
- Déterminer une équation cartésienne de $(d)$ perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$
Vecteur normal
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ si $\overrightarrow{v}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.
Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de $(d)$ alors$\overrightarrow{n}(a;b)$Un vecteur normal à $(AB)$ est un vecteur directeur de $(d)$$ \overrightarrow{v}(1;1)$ est un vecteur normal à la droite $(AB)$ donc un vecteur directeur de $(d)$ donc $-b'=1$soit $b'=-1$ et $a'=1$
donc $(d)$ admet une équation de cartésienne de la forme $x-y+c'=0$
$A(2;1) \in (d)\Longleftrightarrow x_A-y_A+c'=0$
$\phantom{A(1;2) \in (d)}\Longleftrightarrow 2-1+c'=0$
$\phantom{I(1;2) \in (d)}\Longleftrightarrow c'=-1$
On peut aussi utiliser un point $M(x;y)$ de $(d)$ et les vecteurs $\overrightarrow{AM}(x-2;y-1)$ et $\overrightarrow{AB}(-3;3)$ sont orthogonaux.
$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=0$
$ \Longleftrightarrow (x-2)\times (-3)+(y-1)\times 3=0$
$\Longleftrightarrow -3x+3y+3=0$
$\Longleftrightarrow -x+y+1=0$
devoir nº 933
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Droites perpendiculaires et cercles
- équation cartésienne d'une perpendiculaire
- équation d'un cercle
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