ex nº957 - Probabilités totales et calcul d'une probabilité conditionnelle

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Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
L'entreprise MICRO vend en ligne du matériel informatique notamment des ordinateurs portables et des clés USB.
Durant la période de garantie, les deux problèmes les plus fréquemment relevés par le service après-vente portent sur la batterie et sur le disque dur, ainsi :
- Parmi les ordinateurs vendus, 5% ont été retournés pour un défaut de batterie et parmi ceux-ci, 2% ont aussi un disque dur défectueux.
- Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5% ont un disque dur défectueux.
On suppose que la société MICRO garde constant le niveau de qualité de ses produits.
Suite à l'achat en ligne d'un ordinateur :

1. Proposition 1: La probabilité que l'ordinateur acheté n'ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à 0,08 à 0,01 près.

   Rappel de cours

   Probabilité de l'événement $A\cap B$

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   Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
   $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$

   Solution

   En notant les événements B: "l'ordinateur a un défaut de batterie" et D: "l'ordinateur a un défaut de disque dur" on a alors:
   Parmi les ordinateurs vendus, 5% ont été retournés pour un défaut de batterie
   soit $p(B)=0,05$ et parmi ceux-ci, 2% ont aussi un disque dur défectueux soit $p_B(D)=0,02$.
   Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5% ont un disque dur défectueux soit $p_{\overline{B}}(D)=0,05$.
   
   $p(\overline{B}\cap \overline{D})=p(\overline{B})p_{\overline{B}}(\overline{D})=0,95\times 0,98=0,9025$
   donc la proposition 1 est fausse.


2. Proposition 2: La probabilité que l'ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à 0,0485
   

   Rappel de cours

   Probabilités totales

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   Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
   Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
   et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
   $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$

   Solution

   $B$ et $\overline{B}$ sont disjoints et $B\cup \overline{B}=\Omega$
   $B$ et $\overline{B}$ donc $B$ et $\overline{B}$ forment une partition de l'univers.
   En utilisant la formule des probabilités totales, on a:
   $p(D)=p(B\cap D)+p(\overline{B}\cap D)$
   $~~~~~~=0,05\times 0,02+0,95\times 0,05$
   $~~~~~~=0,0485$
   donc $p(D)=0,0485$ et la proposition 2 est vraie.
3. Proposition 3: sachant que l'ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à 0,02

   Rappel de cours

   Probabilité conditionnelle

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   Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
   La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
   et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.

   Solution

   $p_D(B)= \dfrac{p(D\cap B)}{p(D)}=\dfrac{0,95\times 0,02}{0,0485}\approx 0,39$
   donc $p_D(B) > 0,02$ et la proposition 3 est fausse.