MATHS-LYCEEUne usine de composants électriques dispose de deux unités de production, A et B.
La production journalière de l'usine A est de $600$ pièces, celle de l'unité B est de $900$ pièces.
On prélève au hasard un composant de la production d'une journée.
La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité A est égale à $0,014$.
La probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure sachant qu'il est produit par l'unité B est égale à $0,024$.
On note :
- $D$ l'évènement : "le composant présente un défaut de soudure"
- $A$ l'évènement : "le composant est produit par l'unité A"
- $B$ l'évènement : "le composant est produit par l'unité B"
On note $p(D)$ la probabilité de l'évènement $D$ et $p_{A}(D)$ la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.
Partie A : généralités
-
- D'après les données de l'énoncé, préciser $p_{A}(D)$ et $p_{B}(D)$.
Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.
a notation $p_A(D)$ signifie que la pièce est produite dans l'usine dans l'usine A et on cherche la probabilité que cette pièce présente un défaut de soudure.$p_A(D)$ est la probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure (évènement $D$) sachant qu'il est produit dans l'usine A (évènement $A$), donc d'après l'énoncé avec $p_A(D)=0,014$.
De même, $p_B(D)$ est la probabilité qu'un composant présente un défaut de soudure (évènement $D$) sachant qu'il est produit dans l'usine B (évènement $B$), avec $p_B(D)=0,024$.
- Calculer $p(A)$ et $p(B)$.
Il faut déterminer le nombre de composaants fabriqués dans chaque usine par rapport au nombre total de composants produits.Le nombre total de composants électriques fabriqués par les deux unités est $900 + 600 = 1500$ par jour.
On en déduit donc que $p(A)=\dfrac{600}{1500}=0,4$
et $p(B)=\dfrac{900}{1500}=1-0,4=0,6$
- D'après les données de l'énoncé, préciser $p_{A}(D)$ et $p_{B}(D)$.
- Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :
Arbre pondéré
Probabilités sur un arbre pondéré:
Sur le premier niveau de l'arbre, on a $p(A)$ et $P(B)$
Sur le deuxième niveau de l'arbre, on a les probabilités conditionnelles $p_A(D)$, $p_A(\overline{D})$....Arbre décrivant la situation:
-
- Calculer $p(A \cap D)$ et $p(B \cap D)$.
Probabilité de l'événement $A\cap B$
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$$p(A \cap D)$ est la probabilité d'avoir $A$ et $D$, c'est à dire que la pièce provienne de A et présente un défaut.$p(A \cap D)=p(A)\times p_A(D)=0,4\times 0,014=0,0056$
et $p(B\cap D)=p(B)\times p_B(D)=0,6\times 0,024=0,0144 $
- En déduire $p(D)$
Probabilités totales
Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$Pour calculer $p(D)$, il faut utiliser sur l'arbre les parcours $A\capD$ et $B\cap D$$A$ et $B=\overline{A}$ sont deux événements contraires
donc $A\cap B=\oslash$ ($A$ et $B$ sont disjoints)
$A\cup B=\Omega$
donc $A$ et $B$ forment une partition de l'univers D'après la formule des probabilités totales, on a:
$p(D) = p(A)\times p_A(D) + p(B)\times p_B(D)$
$\phantom{p(D)}= p(A\cap D) + p(B\cap D) $
$\phantom{p(D)}= 0,0056 + 0,0144$
$\phantom{p(D)}= 0,02 $
- Calculer $p(A \cap D)$ et $p(B \cap D)$.
- On prélève dans la-production totale un composant présentant un défaut de soudure.
Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'unité A ?Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.On prélève dans la-production totale un composant présentant un défaut de soudure donc on sait que la pièce a un défaut.
On peut utiliser $p(D)$ et $p_A(D)$ avec la formule des probabilités conditionnelles.On prélève dans la-production totale un composant présentant un défaut de soudure donc on sait que la pièce a un défaut
donc on veut calculer la probabilité que la pièce provienne de A sachant qu'elle a un défaut notée $p_D(A)$
$p(A\cap D)=p(A)\times p_A(D)=p(D)p_D(A)$
on a donc $p_D(A)=\dfrac{p(A\cap D)}{p(D)}=\dfrac{0,0056}{0,02}=0,28$
devoir nº 976
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Interrogation probabilités conditionnelles
- probabilités avec un arbre
- probabilités conditionnelles et probabilités totales
infos cours
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