Une entreprise se fabrique des appareils électroniques et 5% présentent un défaut lors du contrôle de qualité.
Parmi les appareils présentant un défaut, 70% sont réparables et sont alors vendus, les autres sont détruits et ne peuvent être vendus.
On note $V$ l'événement "l'appareil peut-être vendu" et $D$ l'événement "l'appareil présente un défaut lors du contrôle de qualité".
  1. Construire un tableau à double entrée illustrant les 4 situations possibles.
    Le tableau à double entrée contiendra les événements $D$ et $\overline{D}$ d'une part (en ligne par exemple) et $V$ et $\overline{V}$ d'autre part (en colonne par exemple)
    On complétera ensuite les effectifs correspondants en prenant par exemple un effectif total de 100 appareils ou bien directement les probabilités en prenant un effectif total de 1.
    Tableau:


    Si l'appareil n'a pas de défaut lors du contrôle de qualité, il est vendu donc $p(\overline{D}\cap \overline{V})=0$ (événement impossible)
  2. Le coût de fabrication d'un appareil est de 20 euros et le coût de réparation quand il y a un défaut est de 7 euros.
    Chaque appareil est vendu 30 euros et toute la production est vendue(sauf les appareils détruits).
    On note $X$ la variable aléatoire correspondant au bénéfice réalisé sur un appareil.
    Dresser la loi de probabilité de $X$.

    Variable aléatoire et loi de probabilité


    Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
    Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $
    Déterminer les valeurs possibles pour $X$ et les probabilités de chacun des événements correspondant à chacune de ces valeurs
    Si l'appareil est vendu et n'a pas de défaut (événement $V \cap \overline{D}$), alors $X=30-20=10$ euros
    Si l'appareil est vendu et a un défaut (événement $V \cap D$), alors $X=30-20-7=3$ euros
    Si l'appareil est n'est pas vendu et a un défaut (événement $\overline{V} \cap D$), alors $X=0-20=-20$ euros
  3. Déterminer alors le bénéfice moyen par appareil fabriqué de cette entreprise.

    Espérance-variance-écart type


    L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
    $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
    La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
    $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$

    ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$

    L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
    Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$
    Pour déterminer le bénéfice moyen par appareil fabriqué, il faut calculer $E(X)$
    $E(X)=0,95\times 10+0,035\times 3+0,015\times (-20)=9,305$
  4. L'année suivante, le coût de fabrication d'un appareil a augmenté de 2 euros et le coût de réparation reste fixe et égal à 7 euros.
    L'entreprise décide d'augmenter le prix de vente de ses appareils de 10%.
    Quel est le pourcentage d'augmentation ou de baisse de son bénéfice moyen par appareil fabriqué.

    Taux d'évolution


    Le taux d'évolution d'une valeur initiale $V_i$ à une valeur finale $V_f$ est la variation relative de l'évolution par rapport à la valeur initiale soit: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$. En calculant $t\times 100$ on obtient le pourcentage d'évolution.
    Reprendre le tableau de la question 2 en cherchant les valeurs de $X$ correspondant aux nouveaux coûts et prix de vente.
    Calculer alors le bénéfice moyen par appareil fabriqué avec ces nouvelles données.
    Le coût de fabrication est passé à 22 euros et le prix de vente à $30+\dfrac{10}{100}\times 30=33$ euros.
    $X$ prend alors les valeurs $33-22=11$ euros, $33-22-7=4$ euros et $-22$ euros.

    $E'(X)=0,95\times 11+0,035 \times 4+0,015\times (-22)=10,26$
    Le bénéfice moyen par objet fabriqué est maintenant de de 10,26 euros.
    Pour calculer le pourcentage de variation, il faut calculer:
    $\dfrac{\textbf{valeur finale}-\textbf{valeur initiale}}{\textbf{valeur initiale}}\times 100=\dfrac{10,26-9,305}{9,305}\times 100 \approx 10,263$

devoir nº 974


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Devoir probabilités (arbre et tableau) et espérance

- probabilités avec un tableau à double entrée
- probabilités avec un arbre
- probabilités totales et conditionnelles

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