MATHS-LYCEEDans chaque cas, calculer la dérivée des fonctions suivantes définies et dérivables sur $\mathbb{R}$
- $f(x)=x^2e^x$
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=x^2$ et $v(x)=e^x$
$(uv)'=u'v+uv'$On pose $u(x)=x^2$ et $v(x)=e^x$
on a alors $u'(x)=2x$ et $v'(x)=e^x$
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$\phantom{f'(x)}=2xe^x+x^2e^x$
$\phantom{f'(x)}=x(2e^x+xe^x)$
- $f(x)=\dfrac{x}{e^x}$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^x$
$(\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^x$
on a alors $u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{e^x-xe^x}{(e^x)^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{e^x (1-x)}{(e^x)^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{1-x}{e^x}$
- $f(x)=(3x+2)e^x-x$
On pose $u(x)=3x+2$ et $v(x)=e^x$
On utilise la dérivée du produit $(uv)'$ et on dérive $-x$On pose $u(x)=3x+2$ et $v(x)=e^x$
on a alors $u'(x)=3$ et $v'(x)=e^x$
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)-1$
$\phantom{f'(x)}=3e^x+(3x+2)e^x-1$
$\phantom{f'(x)}=3e^x+3xe^x+2e^x-1$
$\phantom{f'(x)}=3xe^x+5e^x-1$
devoir nº 1010
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Interrogation propriétés et dérivée de exp
- simplifier des expressions avec exp et utiliser les propriétés algébriques
- calcul de dérivées avec exp(x) et exp(kx)
- étude des variations d'une fonction avec exp
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