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$a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre réels tels que $a < b$ et $c < d$.
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- Montrer que $a+c < b+d$
Comparer deux nombres
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels, $a < b$ si et seulement si $b-a>0$
Conséquence: Pour comparer deux nombres ou deux expressions, on peut étudier le signe de leur différence.On peut étudier le signe de $(b+d)-(a+c)$On peut étudier le signe de la différence entre $a+c$ et $b+d$.
$(b+d)-(a+c)=b+d-a-c=(b-a)+(d-c)$
Or $a < b $ donc $b -a > 0$
et $c < d$ donc $d-c > 0$
donc on ajoute deux nombres positifs $b-a$ et $d-c$
donc $(b+d)-(a+c) > 0$
- On suppose que les réels $a$, $b$, $c$ et $d$ sont maintenant strictement positifs
Montrer que $ac-bd=a(c-d)+d(a-b)$ et en déduire que $ac < bd$.On peut développer $a(c-d)+d(a-b)$$a(c-d)+d(a-b)=ac-ad+da-db=ac-db$
On peut étudier le signe de la différence entre $ac$ et $bd$.
$ac-bd=a(c-d)+d(a-b)$ d'après la question précédente
On a $c < d$ donc $c-d <0$
et comme $a>0$ alors $a(c-d) < 0$
$a < b$ donc $a -b < 0$
et comme $d > 0$ alors $d(a-b) < 0$
donc $ac-bd=a(c-d)+d(a-b)$ est la somme de deux nombres négatifs donc $ac -bd <0$
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