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Résoudre les inéquations suivantes:
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- $(x+1)^2>7$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Il faut se ramener à l'étude du signe d'un produit de deux facteurs
On peut utiliser la trosième identité remarquable pour factoriser ($\sqrt{7}^2=7$)$(x+1)^2>7 \Longleftrightarrow (x+1)^2-7 > 0$
$\phantom{(x+1)^2>7} \Longleftrightarrow (x+1)^2-\sqrt{7}^2 > 0$
$\phantom{(x+1)^2>7} \Longleftrightarrow (x+1-\sqrt{7})(x+1+\sqrt{7}) > 0$
$x+1-\sqrt{7}$ s'annule pour $x=-1+\sqrt{7}$
et $x+1+\sqrt{7}$ s'annule pour $x=-1-\sqrt{7}$
donc $(x+1)^2 > 7$ (zone bleue du tableau de signes) pour $x \in ]-\infty;-1-\sqrt{7}[\cup ]-1+\sqrt{7};+\infty[ $(zone verte)
- $(2x-4)(x+1)\leq 7x-14$
Il faut se ramener à l'étude du signe d'un produit de deux facteurs en factorisant par $x-2$$(2x-4)(x+1)\leq 7x-14 \Longleftrightarrow (2x-4)(x+1)-(7x-14) \leq 0$
$\phantom{(2x-4)(x+1)\leq 7x-14} \Longleftrightarrow 2(x-2)(x+1)-7(x-2) \leq 0$
$\phantom{(2x-4)(x+1)\leq 7x-14} \Longleftrightarrow (x-2)\left[2( x+1)-7\right] \leq 0$
$\phantom{(2x-4)(x+1)\leq 6x-12} \Longleftrightarrow (x-2)\left[2x+2-7\right] \leq 0$
$\phantom{(2x-4)(x+1)\leq 6x-12} \Longleftrightarrow (x-2)\left[2x-5\right] \leq 0$
$x-2$ s'annule pour $x=2$
et $2x-5$ s'annule pour $x=\dfrac{5}{2}$
donc $(2x-4)(x+1)\leq 7x-14$ (zone bleue du tableau de signes) pour $x \in \left[2;\dfrac{5}{2}\right]$(zone verte)
- $\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{-1}{3-x}$
Il faut se ramener à l'étude du signe d'un quotient (inéquation $\dfrac{ax+b}{cx+d}\geq 0$) en réduisant au même dénominateurIl faut $3-x \neq 0 $ soit $x\neq 3$
Pour tout réel $x\neq 3$, on a:
$\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{-1}{3-x}\Longleftrightarrow \dfrac{x-1}{3}-\dfrac{-1}{3-x}\geq 0$
$\phantom{\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{-1}{3-x}} \Longleftrightarrow \dfrac{(x-1)(3-x)}{3(3-x)}-\dfrac{ -3}{3(3-x)}\geq 0$
$\phantom{\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{-1}{3-x}} \Longleftrightarrow \dfrac{(x-1)(3-x)+ 3}{3(3-x)}\geq 0$
$\phantom{\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{-1}{3-x}} \Longleftrightarrow \dfrac{3x-x^2-3+x+3}{3(3-x)}\geq 0$
$\phantom{\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{5}{3-x}} \Longleftrightarrow \dfrac{-x^2+4x}{3(3-x)}\geq 0$
$\phantom{\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{5}{3-x}} \Longleftrightarrow \dfrac{x(-x+4)}{3-x}\geq 0$
Le facteur $x$ s'annule pour $x=0$
$-x+4$ s'annule pour $x=4$
et $3-x$ s'annule pour $x=3$
donc $\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{-1}{3-x}$ (zone bleue) pour $x\in [0;3[\cup [4;+\infty[$
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