Publications MATHS-LYCEE.FR

mémo+exercices corrigés+liens vidéos

L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

RÉUSSIR EN MATHS, C'EST POSSIBLE!
Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos

Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!

Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.
*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
PDF reservé aux abonnés vidéo de l'exercice
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on donne $A(-2;2)$, $B(2;3)$ et $C(3;-1)$.
  1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

    Coordonnées d'un vecteur défini par deux points


    Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=2-(-2)=4\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=3-2=1 \end{cases}$

    Contrôler le calcul sur le graphique en plaçant les points dans un repère.
  2. Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$.

    Coordonnées de la somme et du produit par un réel


    Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x';y')$ alors:
    $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{w} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=x'\\ y=y' \end{cases}$
    $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}(x+x';y+y')$
    $k\overrightarrow{u}(kx;ky)$
    Il faut calculer les coordonnées de $2\overrightarrow{AB}$
    Les coordonnées de $2\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égales.
    On pose $D(x;y)$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{CD}}=x_D-x_C=x-3\\ y_{\overrightarrow{CD}}=y_D-y_C=y-(-1)=y+1 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{CD}(x-3;y+1)$
    $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$ donc on a:
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{CD}}=2x_{\overrightarrow{AB}}\\ y_{\overrightarrow{CD}}=2y_{\overrightarrow{AB}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x-3=2\times 4\\ y+1=2\times 1 \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} x_{\overrightarrow{CD}}=2x_{\overrightarrow{AB}}\\ y_{\overrightarrow{CD}}=2y_{\overrightarrow{AB}} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=11\\ y=1 \end{cases} $

  3. Calculer les coordonnées du point $E$ image du point $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}(1;-4)$.
    On veut que les vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{u}$ soient égaux donc qu'ils aient les mêmes coordonnées.
    On pose $E(x;y)$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{DE}}=x_E-x_D=x-11\\ y_{\overrightarrow{DE}}=y_E-y_C=y-1 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{DE}(x-11;y-1)$
    $E$ est l'image du point $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}(1;-4)$.
    donc $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{u}$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{DE}}=x_{\overrightarrow{u}}\\ y_{\overrightarrow{DE}}=y_{\overrightarrow{u}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x-11=1\\ y-1=-4 \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} x_{\overrightarrow{DE}}=x_{\overrightarrow{u}}\\ y_{\overrightarrow{DE}}=y_{\overrightarrow{u}} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=12\\ y=-3 \end{cases} $

  4. Quelle est la nature du quadrilatère $BDEC$?
    On veut que les vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{CE}$ soient égaux donc qu'ils aient les mêmes coordonnées.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{BD}}=x_D-x_B=11-2=9\\ y_{\overrightarrow{BD}}=y_D-y_B=1-3=-2 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{BD}(9;-2)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{CE}}=x_E-x_C=12-3=9\\ y_{\overrightarrow{CE}}=y_E-y_C=-3-(-1)=-2 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{CE}(9;-2)$
    Les deux vecteurs ont des coordonnées égales
    donc $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CE}$



    On peut aussi calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[BE]$ et du milieu de $I'$ de $[CD]$ et vérifier que $I$ et $I'$ sont confondus.
    Rappel sur les coordonnées du milieu $I$:
    $\begin{cases} x_{I}=\dfrac{x_B+x_E}{2}=\dfrac{2+12}{2}=7\\ y_{I}=\dfrac{y_B+y_E}{2}=\dfrac{3-3}{2}=0 \end{cases}$

Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.
nº374 Calculs de coordonnées avec les vecteurs
| 3-5mn |

| mn | | vu le 01/01/1970