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Dans le plan muni d'un repère orthogonal, déterminer dans chaque cas si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et contrôler graphiquement en les plaçant dans un repère.
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- $\overrightarrow{u}(1;-3)$ et $\overrightarrow{v}(5;3)$
Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$$x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{v}}-y_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{v}}=1\times 3-(-3)\times 5=18$
- $\overrightarrow{u}(-2;4)$ et $\overrightarrow{v}(-3;6)$
$x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{v}}-y_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{v}}=-2\times 6-4\times (-3)=-12+12=0$
Attention aux calculs avec des signes $-$ successifsfat - $\overrightarrow{u}(1+\sqrt{2};-1)$ et $\overrightarrow{v}(1;1-\sqrt{2})$
$x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{v}}-y_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{v}}=(1+\sqrt{2})\times (1-\sqrt{2})-(-1)\times 1=(1^2-\sqrt{2}^2)+1=1-2+1=0$
On utilise la troisième identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ pour développer $(1+\sqrt{2})\times (1-\sqrt{2})$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Vecteurs colinéaires et alignement
- montrer que trois points sont alignés dans un repère
- utiliser le critère de colinéarité
infos: | 10mn |