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Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on donne la droite $(d)$ d'équation réduite $y=-2x+4$ et les points $A(2;5)$, $B(-2;3)$ et $C(3;-2)$.
  1. Déterminer l'équation réduite de la droite $(d')$ parallèle à $(d)$ et passant par $A$.

    Équation réduite de deux droites parallèles


    Dans un repère du plan, deux droites (non parallèles à l'axe des ordonnées) sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur
    Le coefficient directeur de $(d')$ est égal à celui de $(d)$
    On peut déterminer $b$ (ordonnée à l'origine) en utilisant les coordonnées de $A$
    $(d)$ a pour équation $y=-2x+4$ et le point $A(2;5)$.
    Le coefficient directeur de $(d)$ est $a=-2$
    $(d')$ est parallèle à $(d)$ donc le coefficient directeur de $(d')$ est $a'=a=-2$
    $(d')$ admet donc une équation réduite de la forme $y=-2x+b'$
    $A\in (d')$
    donc $y_A=-2x_A+b'$
    $5=-2\times 2+b'$
    $\Longleftrightarrow 5=-4+b'$
    $\Longleftrightarrow 9=b'$


    Penser à tracer la droite $(d)$ puis la droite $(d')$ passant par $A$ pour vérifier que la valeur de $b'$ calculée est correcte
  2. Déterminer l'équation réduite de la droite $(d'')$ parallèle à $(AB)$ et passant par $C$.

    Déterminer l'équation réduite de $(AB)$


    Dans un repère du plan, si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$, pour déterminer l'équation réduite de $(AB)$:
    - Calcul du coefficient directeur
    $a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
    - Calcul de $b$
    Le point $A$ appartient à la droite $(AB)$ donc ses coordonnées vérifient $y_A=ax_A+b$ (équation d'inconnue $b$)
    Le coefficient directeur de $(d'')$ est égal à celui de $(AB)$
    On a les points $A(2;5)$, $B(-2;3)$ et $C(3;-2)$.
    Coefficient directeur de $(AB)$
    $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
    $=\dfrac{3-5}{-2-2}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}$
    $(d'')$ parallèle à $(AB)$
    donc le coefficient de $(d'')$ est $a=\dfrac{1}{2}$
    Calcul de l'ordonnée à l'origine
    L'équation réduite de $(d'')$ est donc de la forme $y=\dfrac{1}{2}x+b''$
    $C\in (d'')$
    donc $y_C=\dfrac{1}{2}x_C+b''$
    $-2=\dfrac{1}{2}\times 3+b''$
    $\Longleftrightarrow -2=\dfrac{3}{2}+b''$
    $\phantom{-2=\dfrac{1}{2}\times 3+b''} \Longleftrightarrow -2-\dfrac{3}{2}=b''$
    $\phantom{-2=\dfrac{1}{2}\times 3+b''} \Longleftrightarrow -\dfrac{7}{2}=b''$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Équation réduite

- tracer une droite
- déterminer l'équation réduite
- déterminer l'équation réduite d'une parallèle


infos: | 20mn |

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