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Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on donne $A(2;3)$, $B(-1;4)$ et $C(1;5)$.
  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d)$ parallèle à $(AB)$ et passant par $C$

    Droites parallèles


    Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires (ayant la même direction)

    Déterminer une équation cartésienne


    Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
    Méthode 1
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
    - $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$

    Méthode 2
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
    - $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)
    $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(d)$
    $\begin{cases} x_B-x_A=-1-2=-3\\ y_B-y_A=4-3=1\end{cases}$ donc $\overrightarrow{AB}(-3;1)$
    $(d)$ est parallèle à $(AB)$ donc $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
    Méthode 1
    Soit $M(x;y)$ un point de $(d')$.
    $\overrightarrow{CM}(x-1;y-5)$
    $\overrightarrow{CM}$ et $\overrightarrow{AB}$ colinéaires
    $\Longleftrightarrow det(\overrightarrow{CM};\overrightarrow{AB})=0$
    $\Longleftrightarrow \begin{bmatrix} x-1&-3\\ y-5&1\end{bmatrix}=0$
    $\Longleftrightarrow 1(x-1)-(-3)(y-5)=0$
    $\Longleftrightarrow x-1+3y-15=0$
    $\Longleftrightarrow x+3y-16=0$

    Méthode 2:
    $\overrightarrow{AB}(-3;1)$ est un vecteur directeur de $(d)$ donc $a=1$ et $b=3$ ($\overrightarrow{u}(-b;a)$vecteur directeur).
    $(d)$ admet une équation cartésienne de la forme $x+3y+c=0$
    $C\in (d) \Longleftrightarrow x_C+3y_C+c=0$
    $~~~~~~~\Longleftrightarrow 1+3\times 5+c=0$
    $~~~~~~~\Longleftrightarrow 1+15+c=0$
    $~~~~~~~\Longleftrightarrow c=-16$

  2. Contrôler les résultats en traçant les droites (avec GEOGEBRA par exemple)
    Placer les trois points
    Saisir l'équation de chacune des droites dans la barre de saisie de GEOGEBRA ou bien tracer la droite parallèle à $(AB)$ passant par $C$ et vérifier son équation dans la barre algèbre
    On poeut d'abord placer les trois points dans le repère, tracer la droite $(AB)$ puis la parallèle à $(AB)$ passant par $C$
    Vérifier alors que l'équation affichée dans la barre algèbre correspond à celle de $(d)$

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