Si $k=1$ on a alors $D_1$: $x+0y-1=0$ soit $x-1=0$.
Si $k=2$ on a alors $D_2$: $2x+(1-2)y-1=0$ soit $2x-y-1=0$.
$\overrightarrow{u}(0;1)$ est un vecteur directeur de $D_1$
$\overrightarrow{v}(1;2)$ est un vecteur directeur de $D_2$
$x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{v}}-y{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{v}}=0\times 2-1\times 1=-1\neq 0$
donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires
donc les droites $D_1$ et $D_2$ sont sécantes.

$\begin{cases} x-1=0\\ 2x-y-1=0 \end{cases} \longleftrightarrow \begin{cases} x=1\\ 2-y-1=0 \end{cases}\longleftrightarrow \begin{cases} x=1\\ y=1 \end{cases}$
donc $D_1$ et $D_2$ sont sécantes en $I(1;1)$.

$D_1$ et $D_2$ sont sécantes en $I(1;1)$ donc si les droites $D_k$ passent par un point fixe, ce point ne peut-être que le point $I$.
$D_k$ a pour équation $kx+(1-k)y-1=0$.
$kx_I+(1-k)y_I-1=k+(1-k)\times 1-1=k+1-k-1=0$
donc $I\in D_k$ pour tout réel $k$.
donc les droites $D_k$ passent toutes par le point $I(1;1)$.

$D_k$ a pour équation $kx+(1-k)y-1=0$ (on a $a=k$ et $b=1-k$)
donc $\overrightarrow{u}(k-1;k)$ est un vecteur directeur de $D_k$.
De même $D_{k'}$ a pour équation $k'x+(1-k')y-1=0$ (on a $a'=k'$ et $b'=1-k'$)
donc $\overrightarrow{v}(k'-1;k')$ est un vecteur directeur de $D_{k'}$.
$x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{v}}-y{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{v}}=(k-1)k'-k(k'-1)=kk'-k'-kk'+k=k-k'$
On a $k\neq k'$ donc $k-k'\neq 0$
donc les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires
et les droites $D_k$ et $D_{k'}$ ne sont pas parallèles
donc $D_k$ et $D_{k'}$ sont sécantes.
$\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases} \longleftrightarrow \begin{cases} k'kx+k'(1-k)y-k'=0 ~~k'L_1\\ kk'x+k(1-k')y-k=0 ~~kL_2 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'(1-k)y-k(1-k')y-k'+k=0~~k'L1-kL_2 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ \left(k'(1-k)-k(1-k')\right)y=k'-k \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ \left(k'-kk'-k+kk'\right)y=k'-k \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ \left(k'-k\right)y=k'-k \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ y=\dfrac{k'-k}{k'-k}~~\text{car } k\neq k' \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+(1-k)\times 1-1=0\\ y=1 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} kx+1-k-1=0\\ y=1 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} kx=k\\ y=1 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} kx+(1-k)y-1=0\\ k'x+(1-k')y-1=0 \end{cases}} \longleftrightarrow \begin{cases} x=1 ~~\text{si }k\neq 0\\ y=1 \end{cases}$
Si $k=0$ alors le point $I(1;1)$ appartient à $D_0$ car $0x_I+(1-0)y_I-1=0$.
donc les droites $D_k$ et $D_k'$ sont sécantes en $I(1;1)$.