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- Écrire un algorithme permettant de déterminer si à partir d'un échantillon de taille $n$ l'hypothèse $p$ peut-être validée ou non au seuil de confiance de 95%.
On saisira les données suivante:
- proportion $p$ de la population correspondant au caractère observé
- taille $n$ de l'échantillon
- nombre d'éléments $k$ de l'échantillon correspondant au caractère observéIntervalle de fluctuation
On prélève un échantillon de taille $n$ dans une population.
On note $p$ la fréquence du caractère dans la population totale.
On note $f$ la fréquence du caractère dans l'échantillon prélevé.
Si $0,2\leq p\leq 0,80$et $n\geq 25$ alors dans au moins 95\ des cas,
$f$ appartient à l'intervalle $I_F=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ (intervalle de fluctuation de l'échantillon de taille $n$)Prise de décision
On veut finalement savoir si l'hypothèse formulée, à savoir la fréquence $p$ de la population totale, peut être validée ou non.
On utilise alors la fréquence $f$ de l'échantillon:
Si $f\in I_F$ alors on peut valider l'hypothèse $p$ au seuil de confiance de 95% Si $f\notin I_F$, on peut rejeter l'hypothèse $p$ avec un risque d'erreur maximum de 5%On peut calculer les bornes de l'intervalle de fluctuationOn peut calculer $p_1=p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ puis $p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ et faire tester si $f$ est compris entre $p_1$ et $p_2$.
Écriture de l'algorithme en PYTHON:
- Ajouter une boucle TANT QUE pour que l'utilisateur respecte les contraintes $n\geq 25$ et $0,2\leq p\leq 0,8$ à l'algorithme de la question 1.
- Calculer l'intervalle de fluctuation avec $p=0,3$ et $n=100$ puis tester avec $k=25$ cas favorables sur 100 dans l'échantillon.
On a bien $n\geq 25$ et $p\in [0,2;0,8]$
$p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,3-\dfrac{1}{\sqrt{100}}=0,2$
$p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,3-\dfrac{1}{\sqrt{100}}=0,4$
$I_F=[0,2;0,8]$
$f=\dfrac{25}{100}=0,25$
donc $f\in I_F$
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