$f'(-\dfrac{3}{2})$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse $\dfrac{-3}{2}$

donc $f'(-\dfrac{3}{2})=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{-3}{0,5}=-6$
$f'(-\dfrac{3}{2})=-6$

La fonction admet un extremum(minimum) en $x=-1$
donc $f'(x)=0$ pour $x=-1$

On pose $u(x)= 2x^2-x-8 $ et $v(x)= x+2 $
et on a $u'(x)=4x-1 $ et $v'(x)= 1$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $D$ (avec$v(x)\neq 0$) et donc $f=\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $D$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{( 4x-1 )( x+2 )-( 2x^2-x-8 )\times 1 }{( x+2 )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{4x^2+8x-x-2-2x^2+x+8 }{( x+2 )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x^2+8x+6 }{( x+2 )^2}$
donc $f'(x)=\dfrac{2x^{2}+8x+6}{(x+2)^{2}}$

$(x+2)^2>0$ sur $]-2;+\infty[$ donc $f'(x)$ est du même signe que $2x^2+8x+6$
$\Delta=b^2-4ac=8^2-4\times 2\times 6=16$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -8 +4 }{4 }=-1$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8 - 4 }{4 }=-3\notin ]-2:+\infty[$
Voir tableau de la question suivante}

Tableau de signes de $f'(x)$ et tableau de variation de $f$

$f(-1)=\dfrac{2\times (-1)^{2}-(-1)-8}{-1+2}=-5$

Le minimum de $f$ est donc $-5$ atteint en $x=-1$

$f(0)=\dfrac{2\times 0^{2}-0-8}{0+2}=-4$
$f'(0)=\dfrac{2\times 0^{2}+8\times 0+6}{(0+2)^{2}}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$
$(D)$: $y=mx+p$ avec $m=f'(0)=\dfrac{3}{2}$
$B(0;f(0))\in (D)\Longleftrightarrow f(0)=\dfrac{3}{2}\times 0+p\Longleftrightarrow -4=p$
donc l'équation réduite de $(D)$ est $y=\dfrac{3}{2}x-4$
Remarque
Calcul direct en utilisant $y=f'(0)(x-0)+f(0)=\dfrac{3}{2}x-4$
$(D)$ coupe l'axe des ordonnées en $y=-4$ (point de contact) et passe par le point d'abscisse $2$ et ordonnée $y=\dfrac{3}{2}\times 2-4=-1$