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Une personne participe à un jeu consistant à tirer successivement et avec remise deux cartes dans un jeu de 52 cartes.
Elle gagne 3 euros quand elle obtient une figure rouge, 2 euros avec une figure noire, 5 euros avec un as et perd 0,50 euro avec une autre carte.

Il y a dans le jeu 6 figures rouges (valet, dame et roi de coeur et carreau) , 6 figures noires et 4 as.
Cette personne a-t-elle intérêt a jouer à ce jeu?

Variable aléatoire et loi de probabilité


Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $

Espérance-variance-écart type


L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
$V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$

ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$

L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
Dresser un arbre correspondant aux différentes possibilités et associer le gain possible à chaque parcours
On note $R_1$ l'événement "obtenir une figure rouge au premier tirage" et $R_2$ l'événement "obtenir une figure rouge au second tirage"
On note $N_1$ l'événement "obtenir une figure noire au premier tirage" et $N_2$ l'événement "obtenir une figure noire au second tirage"
On note $A_1$ l'événement "obtenir un as au premier tirage" et $A_2$ l'événement "obtenir un as au second tirage"
On note $C_1$ l'événement "obtenir une autre carte au premier tirage" et $C_2$ l'événement "obtenir une autre carte au second tirage"
Il y a remise à chaque tirage donc on a $p(R_1)=p(R_2)=p(N_1)=p(N_2)=\dfrac{6}{52}$
$p(A_1)=p(A_2)=\dfrac{4}{52}$
$p(C_1)=p(C_2)=\dfrac{36}{52}$

$X$ est la variable aléatoire donnant le gain du joueur après tirage de deux cartes.


$E(X)=-1\times \dfrac{81}{169}+1,5\times \dfrac{27}{169}+2,5\times \dfrac{27}{169}+4\times \dfrac{9}{676}+4,5\times \dfrac{18}{169}$
$+5\times \dfrac{9}{338}+6\times \dfrac{9}{676}+7\times \dfrac{3}{169}+8\times \dfrac{3}{169}+10\times \dfrac{1}{169}$
$\approx 1,23$
Le gain moyen sur un grand nombre de parties sera de $1,23$ euros environ

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