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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-x+1$ et on note $C_f$ sa représentation graphique.
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- Calculer la dérivée de $f$.
Dérivées usuelles
$f'(x)=2\times 2x-1+0=4x-1$
- Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ au point de la courbe d'abscisse $2$.
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}il faut calculer $f(2)$ et $f'(2)$$f(2)=2\times 2^2-2+1=8-2+1=7$
$f'(2)=4\times 2-1=7$
La tangente $T$ a donc pour coefficient directeur $7$ et passe par le point $(2;f(2))$ soit $(2;7)$ point de contact.
$T$: $y=7x+p$
et $7=7\times 2+p\Longleftrightarrow 7=14+p\Longleftrightarrow -7=p$
Avec la formule directe $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ et ici $a=2$ on a $y=7(x-2)+7=7x-7$ - La fonction $g$ est définie par $g(x)=7x-7$.
- Etudier le signe de $f(x)-g(x)$
$f(x)-g(x)=2x^2-x+1-(7x-7)=2x^2-x+1-7x+7=2x^2-8x+8$
$\Delta=b^2-4ac=( -8 )^2-4 \times 2 \times 8 =0$
$\Delta=0$ donc il y a une racines
$x_1=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{8}{4}=2$
donc le polynôme est de signe constant et du signe de $a=2$ coeffidient de $x^2$
- En déduire la position relative de la courbe $C_f$ et de la tangente $T$.
- Etudier le signe de $f(x)-g(x)$
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