On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2017.
Pour chacun d'eux, un contrat annuel d'entretien doit être souscrit.
Deux sociétés d'ascensoristes, notées A et B, se partagent ce marché. En 2017, la société A entretient 30% de ces ascenseurs.
On estime que chaque année :
3 % des ascenseurs entretenus par A seront entretenus par B l'année suivante ;
5 % des ascenseurs entretenus par B seront entretenus par A l'année suivante ;
Les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante.
On note $a_n$, la proportion d'ascenseurs entretenus par A et $b_n$ la proportion d'ascenseurs entretenus par B pendant l'année $2017 + n$.

1. Donner la valeur de $a_0$ et de $b_0$.

   Aide

   $a_0$ représente la proprtion d'ascenceurs entretenus par A en $2017+0$...

   Solution

   $a_0$ représente la proportion d'ascenceurs entretenus par A en $2017+0$ soit $2017$
   et en 2017, 70% des ascenceurs sont entretenus par A donc $a_0=0,7$
   De même, $b_0$ représente la proportion d'ascenceurs entretenus par B en $2017+0$ soit $2017$
   et en 2017, 30% des ascenceurs sont entretenus par B donc $b_0=0,3$
   $a_0=0,7$ et $b_0=0,3$
2. Calculer $a_1$ puis interpréter le résultat.

   Aide

   A garde 97% de ses clients et récupère 5% de ceux de B

   Solution

   A garde 97% de ses clients et récupère 5% de ceux de B
   donc $a_1=0,97a_0+0,05b_0=0,97\times 0,3+0,05\times 0,7=0,326$
   La proportion de clients de A en 2018 est $a_0=0,326$ soit $32,6$% des clients.
3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n + 1}= 0,97a_n + 0,05b_n$.

   Aide

   A garde 97% de ses clients et récupère 5% de ceux de B

   Solution

   A garde 97% de ses clients donc $0,97a_n$ clients et récupère 5% de ceux de B soit $0,05b_n$ clients
   donc $a_{n + 1}= 0,97a_n + 0,05b_n$.
4. Quelle relation existe-t-il entre $a_n$ et $b_n$?
   En déduire que, pour tout enter naturel $n$, $a_{n + 1}=0,92a_n+ 0,05$.

   Aide

   $a_n+b_n$ représente 100% des clients.
   On peut remplacer $b_n$ dans le résultat de la question précédente.

   Solution

   On a $a_n+b_n=1$ (soit 100% des clients)
   donc $b_n=1-a_n$
   $a_{n + 1}= 0,97a_n + 0,05b_n$
   $=0,97a_n+0,05(1-a_n)$
   $=0,97a_n+0,05-0,05a_n$
   $=0,92a_n+0,05$
   donc $a_{n + 1}=0,92a_n+ 0,05$.
5. 1. Le directeur de la société A constate que, selon cette estimation, la proportion d'ascenseurs entretenus par sa société augmenterait au cours des années et se stabiliserait à $62,5$ %.
      Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes ci-après permet de calculer la première année pour laquelle cette proportion dépasse 50 %.
      

      Solution

      On a au départ $A=0,3$ et $N=0$ pour représenter $a_0=0,3$
      A chaque passage dans la boucle TANT QUE on calcule le terme suivant soit $0,92A+0,05$ et on ajoute une année car $N$ augmente de $1$
      On veut savoir à partir de quand on a $a_n>0,5$
      On effectue donc les calculs TANT QUE $A$ est inférieur à $0,5$
      donc l'algorithme correct est l'algorithme 1.
      Remarque
      L'algotithme 3 ne convient pas car l'instruction $N\longleftarrow N+1$ est en dehors de la boucle donc n'est pas effectuée à chaque passage dans la boucle
   2. Avec la calculatrice, déterminer la valeur de la variable $N$ en fin d'exécution de cet algorithme.

      Solution

      On utilise le MENU SUITE (RECUR avec CASIO) en choisissant le type $a_{n+1}$.
      On a alors $a_{11}\approx0,495$ et $a_{12}\approx 0,5055$
      donc l'algorithme retournera $N=12$
      Cela signifie que A aura plus de 50% des clients à partir de l'année $2017+12=2029$.
6. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=a_n-0,625$.
   1. Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.

      Rappel de cours

      Suite géométrique

      ---

      Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
      $q$ est la raison de la suite.
      Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

      Aide

      $u_{n+1}=a_{n+1}-0,625$ puis remplacer $a_{n+1}$.

      Solution

      $u_{n+}=a_{n+1}-0,625$
      $\phantom{u_{n+1}}=0,92a_n+0,05-0,625$
      $\phantom{u_{n+1}}=0,92a_n-0,575$ on a $u_n=a_n-0,625$ donc $a_n=u_n+0,625$
      $\phantom{u_{n+1}}=0,92(u_n+0,625)-0,575$
      $\phantom{u_{n+1}}=0,92u_n+0,92\times 0,625-0,575$
      $\phantom{u_{n+1}}=0,92u_n+0,575-0,575$
      $\phantom{u_{n+1}}=0,92u_n$
      $u_0=a_0+0,625=0,3-0,625=-0,325$
      donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,92$ et premier terme $u_0=-0,325$
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n= 0,325 × 0,92^n+ 0,625$.

      Rappel de cours

      Forme explicite d'une suite géométrique

      ---

      Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
      $u_n=u_0\times q^n$
      et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

      Aide

      On a une suite géométrique donc $u_n=u_0\times q^n$ et $a_n=u_n+0,625$

      Solution

      $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,92$ et premier terme $u_0=-0,325$
      donc $u_n=u_0\times q^n=-0,325\times 0,92^n$
      On a $u_n=a_n-0,625$
      donc $a_n=u_n+0,625=-0,325\times 0,92^n+0,625$
   3. Déterminer le sens de variation de la suite $(a_n)$.

      Rappel de cours

      Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)

      ---

      Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
      Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
      Étudier le signe de l'expression obtenue
      Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
      Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

      Solution

      $a_{n+1}-a_n=0,92a_n+0,05-a_n$
      $\phantom{a_{n+1}-a_n}=-0,08a_n+0,05$ et $a_n=-0,325\times 0,92^n+0,625$
      $\phantom{a_{n+1}-a_n}=-0,08(-0,325\times 0,92^n+0,625)+0,05$
      $\phantom{a_{n+1}-a_n}=-0,08\times(-0,325)\times 0,92^n-0,08\times 0,625+0,05$
      $\phantom{a_{n+1}-a_n}=0,026\times 0,92^n-0,05+0,05$
      $\phantom{a_{n+1}-a_n}=0,026\times 0,92^n$
      donc $a_{n+1}-a_n>0$
      donc la suite $(a_n)$ est croissante.
   4. Vers quelle valeur semble tendre la suite $a_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
      Interpréter le résultat.

      Solution

      La raison $q$ de $u(u_n)$ est comprise entre $0$ et $1$
      donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} v_n=0$
      et $a_n=v_n+0,625$ donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=0,625$
      donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=0,625$
      donc à très long term, $62,5$% des clients seront attribués àl'entreprise A.