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Déterminer la forme canonique pour chacun des polynômes ci-dessous
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- $P(x)=\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{2x}{3}+1$
Forme canonique
Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ dans $ax^2+bx+c$ pour appliquer la propriété du cours$P(x)$ est un polynôme de degré 2 avec $a=\dfrac{1}{6}$, $b=\dfrac{-2}{3}$ et $c=1$
On veut écrire $P(x)$ sous la forme $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$
$\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{2\times \dfrac{1}{6}}=\dfrac{2}{3}\times 3=2$
$\beta=P(\alpha)=P(2)=\dfrac{2^2}{6}-\dfrac{2\times 2}{3}+1=\dfrac{4}{6}-\dfrac{4}{3}+1=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{3}{3}=\dfrac{1}{3}$
Avec la calculatrice graphique on peut saisir les deux expressions (forme développée et forme canonique obtenue) dans le menu TABLE ou GRAPH pour vérifier que ces deux fonctions sont égales - $P(x)=x-2x^2+6$
Calculer $\alpha$ puis $\beta$ après avoir identifié les coefficients $a$, $b$ et $c$ dans $ax^2+bx+c$ (voir aussi rappel cours question 1)
réecrire le'expression dans l'ordre des puissances décroissantes de $x$ soit $x^2$ puis $x$$P(x)=x-2x^2+6=-2x^2+x+6$
$P(x)$ est un polynôme de degré 2 avec $a=-2$, $b=1$ et $c=6$
On veut écrire $P(x)$ sous la forme $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$
$\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-1}{2\times (-2)}=\dfrac{1}{4}$
$\beta=P(\alpha)$
$~~~~=P\left(\dfrac{1}{4}\right)$
$~~~~=-2\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{1}{4}+6$
$~~~~=-2\times \dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}+6$
$~~~~=\dfrac{-1}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{48}{8}$
$~~~~=\dfrac{49}{8}$
donc $P(x)=-2\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{49}{8}$
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