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  1. spécialité maths première
  2. chapitre 1 Second degré
  3. exercice corrigé nº628

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  1. Une corde de longueur totale de 1m est fixée à ses extrémités à deux clous A et B distants de 65 cm. (figure ci-dessous)

    Est-il possible de tendre la corde de manière à ce que le triangle ABC soit rectangle en C?

    Rappel de cours

    Théorème de Pythagore

    Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $AB^2+AC^2=BC^2$

    Racines

    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.

    Aide

    On peut poser $AC=x$ et $BC=y$ (en centimètres)
    On a alors $x+y=100$ soit $y=100-x$

    Solution

    On note les longueurs $AC=x$ et $BC=y$ en centimètres.
    Il faut $0\leq x\leq 100$ et $0\leq y \leq 100$
    La corde mesure 1m=100cm donc $x+y=100$ soit $y=100-x$
    ABC triangle rectangle en C donc $AC^2+BC^2=AB^2$
    donc $x^2+y^2=65^2$
    En remplaçant $y$ par $100-x$, on a alors:
    $x^2+(100-x)^2=65^2 \Longleftrightarrow x^2+100^2-200x+x^2-65^2=0$
    $\phantom{x^2+(100-x)^2=65^2} \Longleftrightarrow x^2+10000-200x+x^2-4225=0$
    $\phantom{x^2+(100-x)^2=65^2} \Longleftrightarrow 2x^2-200x+5775=0$
    $\Delta=b^2-4ac=(-200)^2-4\times 2 \times 5775=-6200$

    $\Delta <0$ donc il n'y a aucune solution.
  2. Reprendre le problème ci-dessus avec une corde de longueur 89 cm.

    Solution

    Avec les notations de la question 1:
    Il faut $0\leq x\leq 89$ et $0\leq y \leq 89$
    La corde mesure 89cm donc $x+y=89$ soit $y=89-x$
    ABC triangle rectangle en C donc $AC^2+BC^2=AB^2$
    donc $x^2+y^2=65^2$
    En remplaçant $y$ par $89-x$, on a alors:
    $x^2+(89-x)^2=65^2 \Longleftrightarrow x^2+89^2-178x+x^2-65^2=0$
    $\phantom{x^2+(89-x)^2=65^2} \Longleftrightarrow x^2+7921-178x+x^2-4225=0$
    $\phantom{x^2+(89-x)^2=65^2} \Longleftrightarrow 2x^2-178x+3696=0$
    $\Delta=b^2-4ac=(-178)^2-4\times 2 \times 3696=2116$

    $\Delta >0$ donc il y a deux solutions:
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{178-\sqrt{2116}}{4}=33$
    et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{178+\sqrt{2116}}{4}=56$
    On a bien $0\leq x_1 \leq 89$ et $0\leq x_2 \leq 89$

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