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Déterminer le nombre de solutions de l'équation $x^2+(m+1)x+m+1=0 $ en fonction des valeurs prises par le réel $m$.
  1. Exprimer le discriminant $\Delta$ en fonction de $m$.

    Forme canonique


    Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
    Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    On a $a=1$, $b=m+1$ et $c=m+1$
    On a ici $a=1$, $b=m+1$ et $c=m+1$
    $\Delta=b^2-4ac$
    $~~~~=(m+1)^2-4\times 1\times (m+1)$
    $~~~~=m^2+2m+1-4m -4$
    $~~~~ =m^2-2m-3$
  2. Déterminer les racines de $ m^2-2m-3$

    Racines


    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
    $\Delta_1=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 1\times (-3)=4+12=16$\\
    $\Delta_1>0$ donc il y a deux racines\\
    $m_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2 +4 }{2 }=3$\\
    et $m_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ 2- 4}{2 }=-1$
  3. En déduire le signe de de $m^2-2m-3$ puis le nombre de solutions de l'équation $x^2+(m+1)x+m+1=0 $ en fonction des valeurs de $m$.

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    Si $\Delta_1>0$ alors l'équation admet deux racines...
    Tableau de signes de $\Delta_1=m^2-2m-3$
    \includegraphics[scale=0.4]{fig01}
    - Si $m\in ]-\infty;-1[\cup ]3;+\infty[$, on a $\Delta>0$
    alors l'équation $x^2+(m+1)x+m+1=0 $ admet deux solutions.
    - Si $m\in ]-1;3[$, on a $\Delta<0$
    alors l'équation $x^2+(m+1)x+m+1=0 $ n'admet pas de solution.
    - Si $m=-1$ ou $m=3$, on a $\Delta=0$ L alors l'équation $x^2+(m+1)x+m+1=0 $ admet une seule solution.

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