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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Le premier Janvier de l'année 2012, on dépose sur un compte bancaire la somme de 2000 euros et le premier janvier de chaque année, on ajoute 300 euros sur ce compte bancaire.
On note $s_n$ la somme disponible sur ce compte au cours de l'année $2012+n$.
  1. Que représente $s_0$? Quelle est sa valeur?
    $s_n$ représente la somme disponible pour l'année $2012+n$ et on prend pour $s_0$, $n=0$.
    $s_n$ représente la somme disponible pour l'année $2012+n$
    donc en prenant $n=0$, $s_0$ représente la somme disponible pour l'année $2012+0=2012$
    et donc $s_0=2000$
  2. Calculer $s_1$ et $s_2$.
    $s_1$ représente la somme disponible pendant l'année $2012+1=2013$ et chaque année, on ajoute 300 euros
    $s_1$ représente la somme disponible pendant l'année $2012+1=2013$ et chaque année, on ajoute 300 euros
    donc $s_1=s_0+300=2300$
    de même $s_2$ représente la somme disponible pendant l'année $2012+2=2014$ et chaque année, on ajoute 300 euros
    donc $s_2=s_1+300=2600$
  3. Quelle est la nature de la suite $(s_n)$?
    Exprimer $s_n$ en fonction de $n$.

    Forme explicite d'une suite arithmétique


    Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$

    Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$
    Il faut exprimer $s_{n+1}$ en fionction de $s_n$
    $s_n$ est la somme disponible pendant l'année $2012+n$
    et l'année suivante, la somme disponible est $s_{n+1}$.
    Chaque année, on ajoute 300 euros donc $s_{n+1}=s_n+300$.

    $s_n=s_0+nr=2000+300n$
  4. calculer la somme disponible pendant l'année 2020.
    $2020=2012+8$ donc il faut prendre $n=8$
    $2020=2012+8$ donc il faut calculer $u_8$
    $u_8=2000+8\times 300=4400$
  5. Déterminer à partir de quelle année la somme disponible sera supérieure ou égale à 6000 euros.
    Il faut résoudre l'inéquation $s_n> 6000$ d'inconnue $n$.
    $s_n > 6000 \Longleftrightarrow 2000+300n \geq 6000$
    $\phantom{s_n > 6000} \Longleftrightarrow 300n \geq 4000$
    $\phantom{s_n > 6000} \Longleftrightarrow n \geq \dfrac{4000}{300}$
    $\phantom{s_n > 6000} \Longleftrightarrow n \geq \dfrac{40}{3}$
    or $\dfrac{40}{3}\approx 13,3$ et $n$ est un entier donc il faut avoir $n\geq 14$
    $2012+14=2026$

    Penser à effectuer un contrôle avec la calculatrice

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