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On considère la suite $u_n$ définie pour tout entier naturel $n$ tel que $u_{n+1}=2u_n+1$ et $u_0=2$.
  1. On considère l'algorithme ci-dessous:

    Que représente la variable $U$?
    Que va-il afficher si l'utilisateur saisi $n=5$?
    La boucle POUR i=1 à n permet de faire les calculs contenus dans cette boucle successivement pour $n=1$, $n=2$,.....puis $n=5$
    Si on essaye de faire fonctionner cet algorithme "à la main", on a les états suivants:

    Il va donc s'afficher $u_5$ car $n=5$

  2. On veut modifier cet algorithme pour qu'il affiche l'indice à partir duquel $u_n>S$ où $S$ est une valeur saisie par l'utilisateur.
    Utiliser une boucle "TANT QUE"
    Afficher en sortie l'indice $n$ obtenu.....
    On veut calculer $u_n$ tant que $u_n>S$.
  3. Écrire le programme en langage Python de cet algorithme puis déterminer l'indice à partir duquel $u_n>5000$.

    input: saisir une variable


    x=input("saisir la valeur de x") --> permet de saisir la valeur de x par l'utilisateur
    Si on veut saisir un entier par exemple: x=int(input("saisir un nombre entier"))
    Si on veut saisir un réel x=float(input("saisir un nombre"))

    Boucle POUR


    for i in range(n) : --> i varie de 0 à n-1 soit n passages dans la boucle
       instructions de la boucle pour

    for i in range(a,n) : --> i varie de a à n-1
       instructions de la boucle pour

    Programme écrit en Python:

  4. Recherche de la forme explicite de $u_n$
    On admet que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n+1$ est géométrique de raison $q=2$.
    Calculer $v_0$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et vérifier que $u_{11} > 5000$.
    En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.

    Forme explicite d'une suite géométrique


    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
    On utilise $v_n=u_n+1$ en prenant $n=0$
    On a $v_n=u_n+1$ donc $u_n=v_n-1$
    $v_n=u_n+1$
    donc $v_0=u_0+1=2+1=3$.
    On a alors $v_n=v_0\times q^n=3\times 2^n$
    $v_n=u_n+1 \Longleftrightarrow u_n=v_n-1$

    $u_{11}=3\times 2^{11}-1=6143$
    donc on a bien $u_{11}> 5000$

    $u_{10}=3\times 2^{10}-1=3071$ donc $u_{10} <5000$
    et donc $11$ est bien le premier entier tel que $u_n >5000$

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