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$(u_{n })$ est une suite définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par la relation $u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}}{2+3u_{n}}$ et $u_{0}=1$
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- Calculer $u_{2}$
Prendre $n=0$ dans la relation $u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}}{2+3u_{n}}$ pour calculer $u_{1}$
Prendre $n=1$ dans la relation $u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}}{2+3u_{n}}$ pour calculer $u_{2}$$(u_{n})$ est définie par une relation de récurrence (il faut calculer $u_{1}$ pour pouvoir calculer $u_{2}$, il faut calculer $u_{2}$ pour pouvoir calculer $u_{3}$...)
En prenant $n=0$, on a: $u_{0+1}=u_{1}=\dfrac{2u_{0}}{2+3u_{0}}=\dfrac{2}{5}$
En prenant $n=1$, on a:
$u_{1+1}=u_{2}=\dfrac{2u_{1}}{2+3u_{1}}$
$=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{2+\dfrac{6}{5}}$
$=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{16}{5}}$
$=\dfrac{4}{5}\times \dfrac{5}{16}$
$=\dfrac{4}{16}$
$=\dfrac{1}{4}$
- La suite $(u_{n})$ est-elle arithmétique?
Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$Si $(u_{n})$ est arithmétique, pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a $u_{n+1}-u_{n}$ est constant$u_1-u_0=\dfrac{2}{5}-1=\dfrac{-3}{5}$
et $u_2-u_1=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{5}{20}-\dfrac{8}{20}=\dfrac{-3}{20}$
donc la différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante
Autre méthode: calcul de $u_{n+1}-u_n$ $u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{2u_{n}}{2+3u_{n}}-u_{n}$
$\phantom{u_{n+1}-u_{n}}=\dfrac{2u_{n}-u_{n}(2+3u_{n})}{2+3u_{n}}$
$\phantom{u_{n+1}-u_{n}}=\dfrac{2u_{n}-2u_{n}-3u_{n}^2}{2+3u_{n}}$
$\phantom{u_{n+1}-u_{n}}=\dfrac{-3u_{n}^2}{2+3u_{n}}$
donc $u_{n+1}-u_{n}$ n'est pas constant (dépend de $u_{n}$ et $u_{n}$ n'est pas constant puisque $u_{0}\neq u_{1} \neq u_{2}$))
donc $(u_{n})$ n'est pas arithmétique
- On admet que pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a $u_{n}\neq 0$ et on pose $w_{n}=\dfrac{1}{u_{n}}$.
Montrer que $(w_{n})$ est arithmétique.Si $(w_{n})$ est arithmétique, pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a $w_{n+1}-w_{n}$ est constant$w_{n}=\dfrac{1}{u_{n}}$ et
$w_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{\dfrac{2u_{n}}{2+3u_{n}}}=\dfrac{2+3u_{n}}{2u_{n}}$
$w_{n+1}-w_{n}=\dfrac{2+3u_{n}}{2u_{n}}-\dfrac{1}{u_{n}}$
$\phantom{u_{n+1}-u_{n}}=\dfrac{2+3u_{n}}{2u_{n}}-\dfrac{2}{2u_{n}}$
$\phantom{u_{n+1}-u_{n}}=\dfrac{2+3u_{n}-2}{2u_{n}}$
$\phantom{u_{n+1}-u_{n}}=\dfrac{3u_{n}}{2u_{n}}$
$\phantom{u_{n+1}-u_{n}}=\dfrac{3}{2}$
donc $u_{n+1}-u_{n}$ est constant (ne dépend de $n$)
- En déduire l'expression de $w_{n}$ puis de $u_{n}$ en fonction de $n$
Forme explicite d'une suite arithmétique
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$Calculer $w_{0}$ pour exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $w_{n}$ puis en fonction de $n$Pour $n=0$, on a $w_{0}=\dfrac{1}{u_{0}}=1$
$(w_{n})$ est une suite arithmétique de premier terme $w_{0}=1$ et raison $r=\dfrac{3}{2}$
donc $w_{n}=w_{0}+nr=1+\dfrac{3n}{2}$
$w_{n}=\dfrac{1}{u_{n}}$
donc $u_{n}=\dfrac{1}{w_{n}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{3n}{2}}=\dfrac{2}{2+3n}$
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