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$(u_{n })$ est une suite définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par la relation $u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^2+2}$ et $u_{0}=1$
  1. Calculer $u_{2}$ puis $u_{3}$
    $(u_{n})$ est définie par une relation de récurrence (il faut calculer $u_{1}$ pour pouvoir calculer $u_{2}$, il faut calculer $u_{2}$ pour pouvoir calculer $u_{3}$....)
    $(u_{n})$ est définie par une relation de récurrence (il faut calculer $u_{1}$ pour pouvoir calculer $u_{2}$, il faut calculer $u_{2}$ pour pouvoir calculer $u_{3}$...)
    En prenant $n=0$, on a: $u_{0+1}=u_{1}=\sqrt{u_{0}^2+2}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$
    En prenant $n=1$, on a:
    $u_{1+1}=u_{2}=\sqrt{u_{1}^2+2}=\sqrt{3+2}=\sqrt{5}$
    En prenant $n=2$, on a:
    $u_{2+1}=u_{3}=\sqrt{u_{2}^2+2}=\sqrt{5+2}=\sqrt{7}$
  2. On considère la suite $w_{n}$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $w_{n}=u_{n}^2$.
    Montrer que $(w_{n})$ est définie pour tout entier naturel $n$ et que c'est une suite arithmétique.

    Suite arithmétique


    Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
    $r$ est la raison de la suite.
    On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$
    La fonction racine carrée est définie sur $[0:+\infty[$
    Si $(w_{n})$ est arithmétique, pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a $w_{n+1}-w_{n}$ est constant
    Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n}^2\geq 0$
    donc $u_{n}^2+2\geq 2>0$ or la fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$
    donc $u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^2+2}$ est défini pour tout entier naturel $n$


    Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on a: $w_{n+1}=u_{n+1}^2=\sqrt{u_{n}^2+2}^2=u_{n}^2+2$
    $w_{n+1}-w_{n}=u_{n}^2+2-u_{n}^2=2$
    donc $w_{n+1}-w_{n}=2$ est constant (ne dépend pas de $n$)
    donc $(w_{n})$ est arithmétique de raison 2
  3. En déduire l'expression de $w_{n}$ puis de $u_{n}$ en fonction de $n$

    Forme explicite d'une suite arithmétique


    Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$

    Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$
    Si $(w_{n})$ est arithmétique donc pour exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$, il faut déterminer la raison et le premier terme de cette suite
    Exprimer ensuite $u_{n}$ en fonction de $w_{n}$ puis en fonction de $n$
    Pour $n=0$, on a $w_{0}=u_{0}^2=1$
    $(w_{n})$ est une suite arithmétique de premier terme $w_{0}=1$ et raison $r=2$ (voir question précédente)
    donc $w_{n}=w_{0}+nr=1+2n$
    $w_{n}=u_{n}^2$
    donc $u_{n}=\sqrt{w_{n}}=\sqrt{1+2n}$

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