Le point A de coordonnées $(1;1)$ appartient à la courbe donc $f(1)=1$

$f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $(d')$ à $C_f$ au points d'abscisse $0$ (point B)
$(d)$ est parallèle à l'axe des abscisses donc a pour coefficient directeur 0 donc $f'(0)=0$
$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $(d)$ à $C_f$ au points d'abscisse $1$ (point A) et passe par le point B
donc $f'(1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-1-1}{0-1}=\dfrac{-2}{-1}=2$

$f'(0)=0$ et $f'(1)=2$

Méthode 1 (sans utiliser l'équation donnée en cours)
$f'(-1)$ est le coefficient directeur de $T_C$ et $T_C$ passe par le point C.
On a donc $T_C$: $y=\dfrac{-2}{3}x+b$
et
$A\in T_C$
$\Longleftrightarrow y_C=\dfrac{-2}{3}x_C+b$
$\Longleftrightarrow \dfrac{-1}{3}=\dfrac{-2}{3}\times (-1)+b$
$\Longleftrightarrow b=-1$
$T_C$ a pour équation réduite $y=\dfrac{-2}{3}x-1$
Avec la propriété du cours, on a aussi:
$T_C$: $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ avec ici $a=-1$
$f'(a)=f'(-1)=\dfrac{-2}{3}$ et $f(a)=f(-1)=\dfrac{-1}{3})$
Autre méthode (semblable à la démonstration du cours):
$\overrightarrow{AM}(x+1;y+\dfrac{1}{3})$ et le vecteur $\overrightarrow{u}(1; f'(-1))$ colinéaires pour trouver une équation de $T_C$
Pour tracer cette tangente, il faut utiliser le point C et déterminer les coordonnées d'un second point de la droite en prenant $x=3$ par exemple.
On peut aussi utiliser le point C et le coefficient directeur $\dfrac{-2}{3}$. Un déplacement de 3 unités selon l'axe des ordonnées quand on effectue un déplacement de $-2$ selon l'axe des abscisses.