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On considère la fonction $f$ définie sur $]-4;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^3-2}{x+4}$
  1. Justifier que $f$ est dérivable sur D et calculer $f'(x)$

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    On pose $u(x)=x^3-2$ et $v(x)=x+4$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur D et $v(x)\neq 0$ donc le quotient de $u$ par $v$ est dérivable sur D.
    On a $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=1$

    $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
    $f'(x)=\dfrac{3x^2(x+4)-(x^3-2)\times 1}{(x+4)^2}$
    $f'(x)=\dfrac{3x^3+12x^2-x^3+2}{(x+4)^2}$
    $f'(x)=\dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2}$
  2. On pose $g(x)=2x^3+12x^2+2$ définie sur D.
    Etudier les variations de $g$ et en déduire le signe de $g(x)$

    Dérivées usuelles


    Calculer $g'(x)$
    Etudier le signe de $g'(x)$
    Rechercher le minimum de $g$ à laide du tableau de variation et en déduire le signe de $g(x)$
    $g$ est une fonction polynôme de degré 3 donc est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur D
    $g'(x)=6x^2+24x$

    Recherche des racines de $g'(x)$
    $g'(x)$ est un polynôme de degré 2 mais le coefficient $c$ dans $ax^2+bx+c$ est nul donc il n'est pas indispensable de calculer le discriminant $\Delta$.
    $6x^2+24x=0 \Longleftrightarrow 6x(x+4)=0 \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=-4$
    $-4\notin $D
    Le polynôme $g'(x)$ est du signe de $a=6$ coefficient de $x^2$ "à l'extérieur" des racines.

    avec $g(0)=2$
    Le minimum de $g$ est 2 atteint en $x=0$ donc $g(x)\geq 2$ sur D


    La fonction $g$ est définie sur D dans l'énoncé donc il ne faut pas oublier la double barre dans le tableau de variation.
  3. En déduire le tableau de variation de $f$

    Signe de la dérivée et variations d'une fonction


    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
    $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
    $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$
    Le dénominateur de $f'(x)$ est strictement positif
    Le numérateur correspond à la fonction $g$
    $f'(x)=\dfrac{2x^3+12x^2+2)\times 1}{(x+4)^2}$
    $(x+4)^2>0$ sur D donc $f'(x)$ est du signe du numérateur $2x^3+12x^2+2=g(x)$
    D'après la question précédente $g(x)>0$ donc $f'(x)>0$ et $f$ est strictement croissante sur D
    On a donc:

    L'erreur classique consiste à conclure que les variations de $f$ sont les mêmes que celles de $g$.
    Ceci est faux car il y a alors confusion entre le signe de $g$ et les variations $g$, ce sont deux choses différentes.
    Ici, le signe de $g(x)$ permet d'obtenir celui de $f'(x)$ et donc les variation de $f$

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