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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^4-4x^3+3x^2-6x+1$
  1. Calculer $f'(x)$

    Dérivées usuelles


    $f$ est une fonction polynôme de degré 4 donc est la somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$
    donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    $f'(x)=3\times 4x^3-4\times 3x^2+3\times 2x-6+0=12x^3-12x^2+6x-6$
  2. La fonction $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x^3-2x^2+x-1$.
    Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $g$

    Signe de la dérivée et variations d'une fonction


    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
    $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
    $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$
    Pour déterminer les variations de $g$, il faut étudier le signe de $f'(x)$ (polynôme de degré 2)
    Il faut donc chercher les racines de $f'(x)$ afin de dresser un tableau de signe de $f'(x)$
    $g$ est une fonction polynôme de degré 3 donc est la somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$
    donc $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    $g'(x)=2\times 3x^2-2\times 2x+1-0=6x^2-4x+1$
    Signe de $g'(x)$
    $\Delta=(-4)^2-4\times 6\times 1=-8$
    $\Delta<0$ donc $g'(x)$ n'admet pas de racine et $6x^2-4x+1$ est de signe constant et du signe de $a=6$ coefficient de $x^2$
    On a donc
  3. Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$
    Pour déterminer le signe de $g$, on peut utiliser les variations de $g$ et le fait que $g(1)=0$
    $g(1)=2\times 1^3-2\times 1^2+1-1=0$.
    En utilisant le tableau de variation de $g$, on a alors:

  4. En déduire les variations de $f$
    $f'(x)$ peut s'exprimer en fonction de $g(x)$
    $f'(x)=12x^3-12x^2+6x-6=6(2x^3-2x+x-1)=6g(x)$
    donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$.
    En utilisant la question précédente:

    avec $f(1)=3\times 1^4-4\times 1^3+3\times 1^2-6+1=-3$

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