On peut utiliser le triangle $OIC$ (ou bien $ACD$) rectangle en $C$.
On a alors $OI=h$.
Le diamètre de la sphère est de 1,2 m
donc le rayon de la sphère est $0,6$ mètre et $OC=6$ dm.
$OC^2=OI^2+IC^2$ soit $6^2=h^2+r^2$
donc $r^2=36-h^2$
$r^2=36-h^2$ soit $r=\sqrt{36-h^2}$

Le cylindre a pour hauteur $2h$ et pour rayon $r$ donc $V=\pi r^2\times 2h$
$V=\pi r^2\times 2h$
$\phantom{V}=\pi (36-h^2)\times 2h$
$\phantom{V}=2\pi (36h-h^3)$
$V=2\pi (36h-h^3)$ exprimé en dm$^3$

La sphère a un diamètre de 1,2m$=$12dm.
$0\leq 2h \leq 12 \Longleftrightarrow 0\leq h\leq 6$
On a étudie donc la fonction $V(h)=2\pi (36h-h^3)$ sur $[0;6]$.
$V$ est dérivable sur $[0;6]$ (somme de fonctions dérivables)
$V'(h)=2\pi (36-3h^2)$
Racines de $36-3h^2$:
$36-3h^2=0\Longleftrightarrow 36=3h^2$
$\phantom{36-3h^2=0}\Longleftrightarrow 12=h^2$
$\phantom{36-3h^2=0}\Longleftrightarrow h=\sqrt{12}$ ou $h=-\sqrt{12}$
$\phantom{36-3h^2=0}\Longleftrightarrow h=2\sqrt{3}$ ou $h=-2\sqrt{3}$

avec $V(0)=2\pi (36\times 0-0^3)=0$
et $V(6)=2\pi (36\times 6-6^3)=0$
$V(2\sqrt{3})=2\pi (36\times 2\sqrt{3}-2^3\sqrt{3}^3)$
$\phantom{V(2\sqrt{3})}=2\pi (72\sqrt{3}-8\times \sqrt{3}^2\times \sqrt{3})$
$\phantom{V(2\sqrt{3})}=2\pi (72\sqrt{3}-24\sqrt{3})$
$\phantom{V(2\sqrt{3})}=2\pi \times 48\sqrt{3}$
$\phantom{V(2\sqrt{3})}=96\pi \sqrt{3}$
Le volume maximum est atteint pour $h=2\sqrt{3}$ dm.
$r=36-h^2=36-12=24$ dm
Le volume maximum est alors $V(2\sqrt{3})=96\pi \sqrt{3}\approx 522$ dm$^3$.
La poubelle a un volume maximum de 522 dm$^3$ environ, une hauteur de $2h=4\sqrt{3}$dm et un rayon de 24 dm.