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On veut placer une poubelle cylindrique(en rouge) dans une sphère de 1,2 mètre de diamètre.
On note $r$ le rayon du cylindre et $2h$ sa hauteur, ces longueurs étant exprimées en dm.
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On note $r$ le rayon du cylindre et $2h$ sa hauteur, ces longueurs étant exprimées en dm.
- Exprimer $r$ en fonction de $h$.
On peut utiliser le triangle $OCI$ rectangle en $C$On peut utiliser le triangle $OIC$ (ou bien $ACD$) rectangle en $C$.
On a alors $OI=h$.
Le diamètre de la sphère est de 1,2 m
donc le rayon de la sphère est $0,6$ mètre et $OC=6$ dm.
$OC^2=OI^2+IC^2$ soit $6^2=h^2+r^2$
donc $r^2=36-h^2$
- En déduire le volume, en cm$^3$, de la poubelle en fonction de $h$.
- Déterminer alors le rayon et la hauteur du cylindre pour que le volume soit maximal.
Calculer, au dm$^3$ près, le volume maximal de la poubelle.Si on pose $V(h)=2\pi (36h-h^3)$, il faut déterminer le maximum de $V(h)$
Pour déterminer le maximum, il faut dresser le tableau de variation et donc étudier le signe de la dérivée.La sphère a un diamètre de 1,2m$=$12dm.
$0\leq 2h \leq 12 \Longleftrightarrow 0\leq h\leq 6$
On a étudie donc la fonction $V(h)=2\pi (36h-h^3)$ sur $[0;6]$.
$V$ est dérivable sur $[0;6]$ (somme de fonctions dérivables)
$V'(h)=2\pi (36-3h^2)$
Racines de $36-3h^2$:
$36-3h^2=0\Longleftrightarrow 36=3h^2$
$\phantom{36-3h^2=0}\Longleftrightarrow 12=h^2$
$\phantom{36-3h^2=0}\Longleftrightarrow h=\sqrt{12}$ ou $h=-\sqrt{12}$
$\phantom{36-3h^2=0}\Longleftrightarrow h=2\sqrt{3}$ ou $h=-2\sqrt{3}$
avec $V(0)=2\pi (36\times 0-0^3)=0$
et $V(6)=2\pi (36\times 6-6^3)=0$
$V(2\sqrt{3})=2\pi (36\times 2\sqrt{3}-2^3\sqrt{3}^3)$
$\phantom{V(2\sqrt{3})}=2\pi (72\sqrt{3}-8\times \sqrt{3}^2\times \sqrt{3})$
$\phantom{V(2\sqrt{3})}=2\pi (72\sqrt{3}-24\sqrt{3})$
$\phantom{V(2\sqrt{3})}=2\pi \times 48\sqrt{3}$
$\phantom{V(2\sqrt{3})}=96\pi \sqrt{3}$
Le volume maximum est atteint pour $h=2\sqrt{3}$ dm.
$r=36-h^2=36-12=24$ dm
Le volume maximum est alors $V(2\sqrt{3})=96\pi \sqrt{3}\approx 522$ dm$^3$.
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