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$ABCD$ est un hexagone régulier de centre $O$ tel que $OA=4$cm (voir figure ci-dessous).

  1. Calculer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}$.

    Produit scalaire (définition)


    $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
    Les triangles OAB, OBC,....sont équilatéraux
    figure

    $\widehat{BOA}=\dfrac{\pi}{3}$
    $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}=|| \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OB}||\times cos( \widehat{BOA})$
    $\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}}=OA\times OB \times cos(\dfrac{\pi}{3})$
    $\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}}=16 \times \dfrac{1}{2}$
    $\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}}=8$
  2. Calculer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}$.
    figure

    $\widehat{DOA}=\pi$
    $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}=|| \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OD}||\times cos( \widehat{DOA})$
    $\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}}=OA\times OD \times cos(\pi)$
    $\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}}=16 \times (-1)$
    $\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OD}}=-16$
  3. Calculer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OE}$.

    Valeurs remarquables du cos et du sin


    Angles associés


    figure

    $\widehat{AOE}=\dfrac{2\pi}{3}$
    or $\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$
    donc sur le cercle trigonométrique, les points associés aux réels $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ sont symétriques par rapport à l'ordonnée du repère
    donc $ cos(\dfrac{2\pi}{3})= -cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{-1}{2}$
    $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OE}=|| \overrightarrow{OA}||\times || \overrightarrow{OE}||\times cos( \widehat{AOE})$
    $\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OE}}=OA\times OE \times cos(\dfrac{2\pi}{3})$
    $cos (\dfrac{-2\pi}{3})=cos(\dfrac{2\pi}{3})=-cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{-1}{2}$
    donc $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OE}=16 \times \dfrac{-1}{2}=-8$
  4. Calculer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{FB}$.

    Orthogonalité


    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
    $OBAF$ est un losange donc les diagonales $(OA)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires
    figure

    $OA=OB=OF=FA=AB$ donc $OBAF$ est un losange
    donc les diagonales $(OA)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires
    donc $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{FB}=0$

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