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Lorsqu'un objet se déplace, une force $\overrightarrow{F}$ qui s'applique sur celui-ci produit un "travail".
Le travail d'une force $\overrightarrow{F}$ noté $W$ appliquée à un objet se déplaçant (de manière rectiligne) de $A$ à $B$ est $W=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}$.
Si l'intensité de la force $\overrightarrow{F}$ est exprimée en Newtons et la distance $AB$ en mètres, le travail $W$ est exprimé en Joules.
On tracte un objet de masse $m$ exprimée en kg à l'aide d'un câble reliant $S$ au sommet $B$ sur un plan incliné à $30^0$ par rapport à l'horizontale de longueur 20m.(voir schéma)
\begin{center} \end{center}
  1. On décompose le vecteur $\overrightarrow{P}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{P_1}$ vecteur normal à $(AB)$ et $\overrightarrow{P_2}$ vecteur colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ tel que $\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_1}+\overrightarrow{P_2}$
    Placer $\overrightarrow{P_1}$ et $\overrightarrow{P_2}$ sur le schéma et calculer $\overrightarrow{P_1}.\overrightarrow {AB}$
    Rappel: intensité de la pesanteur $g\approx 9,81~N kg^{-1}$

    Orthogonalité


    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
    figure


    $\overrightarrow{P_1}$ vecteur normal à $(AB)$
    donc $\overrightarrow{P_1}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$
  2. En déduire que $W=\overrightarrow{P_2}.\overrightarrow{AB}$ et exprimer $W$ en fonction de $m$

    Propriétés du produit scalaire


    Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
    $(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$

    $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$
    Décomposer $\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_1}+\overrightarrow{P_2}$
    $\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_1}+\overrightarrow{P_2}$
    $\overrightarrow{P}.\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{P_1}+\overrightarrow{P_2}).\overrightarrow{AB}$

    $\phantom{\overrightarrow{P}.\overrightarrow{AB}}=\overrightarrow{P_1}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{P_2}.\overrightarrow{AB}$

    $\phantom{\overrightarrow{P}.\overrightarrow{AB}}=\overrightarrow{P_2}.\overrightarrow{AB}$ car $\overrightarrow{P_1}.\overrightarrow{AB}=0$

    On a $||\overrightarrow{P}||=mg$ (en Newtons)
    $\overrightarrow{P}.\overrightarrow{AB}=||\overrightarrow{P}||\times ||\overrightarrow{AB}||\times cos(\overrightarrow{P},\overrightarrow{AB})=||\overrightarrow{P}||\times AB\times cos(\widehat{PSB})$
    Dans le triangle $SAH'$ rectangle en $H'$ on a $\widehat{H'SA}=90-\widehat{H'AS}=60^0$
    donc $\widehat{PSB}=180-\widehat{H'SA}=180-60=120^0$
    $W=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{AB}=||\overrightarrow{P}||\times 20\times cos(120^0)=20mg\times \dfrac{-1}{2}=-10mg$
  3. Comment expliquer que $W<0$?
  4. Montrer que l'on a aussi $W=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{HB}$
    Décomposer $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}$
    $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}$
    $W=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{HB}$

    $\phantom{W}=\overrightarrow{P}.(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB})$

    $\phantom{W}=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{P}.\overrightarrow{HB}$
    or $\overrightarrow{P}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont orthogonaux
    donc $\overrightarrow{P}.\overrightarrow{AH}=0$


    Le travail du poids est égal au produit de l'intensité du poids $mg$ la variation de son "altitude".
    $W$ est donc positif si l'objet descend et négatif s'il monte

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