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Le plan muni d'un repère orthonormé.
  1. La droite $(d)$ a pour équation $2x-3y+1=0$.
    Déterminer une équation cartésienne de $(d')$ parallèle à $(d)$ passant par $A(2;5)$.

    Déterminer une équation cartésienne


    Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
    Méthode 1
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
    - $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$

    Méthode 2
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
    - $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)
    Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{u}$ vecteur directeur de la droite $(d)$
    Un vecteur directeur de $(d)$ est aussi un vecteur directeur de $(d')$ donc les coefficients $a$ et $b$ de $x$ et $y$ sont proportionnels (donc peuvent être égaux)
    Calculer $c$ en utilisant les coordonnées de $A$
    La droite $(d)$ a pour équation $2x-3y+1=0$ donc $\overrightarrow{u}(3;2)$ est un vecteur directeur de $(d)$ donc de $(d')$
    donc la droite $(d')$ admet une équation de la forme $2x-3y+c=0$
    $A\in (d)$
    $\Longleftrightarrow 2x_A-3y_A+c=0$
    $\Longleftrightarrow 4-15+c=0$
    $\Longleftrightarrow c=11$
    $2x-3y+11=0$ est une équation de (d')
    $2x-3y+11=0\Longleftrightarrow -2x+3y-11=0$

    On peut tracer ces deux droites dans un repère pour contrôler graphiquement le résultat
  2. On donne les points $A(2;1)$ et $B(-1;3)$
    Déterminer une équation de la droite $(d)$ passant par $C(-2;1)$ et parallèle à $(AB)$.
    $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(d)$
    Un vecteur directeur de $(d)$ est aussi un vecteur directeur de $(d')$ donc les coefficients $a$ et $b$ de $x$ et $y$ sont proportionnels (donc peuvent être égaux)
    Calculer $c$ en utilisant les coordonnées de $C$
    La droite $(AB)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}(-3;2)$
    donc la droite $(d)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AB}(-3;2)$
    donc $-b=-3$ soit $b=3$ et $a=2$ donc la droite (d) admet une équation de la forme $2x+3y+c=0$
    $C\in (d)$
    $\Longleftrightarrow 2x_C+3y_C+c=0$
    $\Longleftrightarrow -4+3+c=0$
    $\Longleftrightarrow c=1$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Équation cartésienne d'une droite

- rappels de seconde
- déterminer un vecteur directeur
- tracer une droite
- déterminer une équation cartésienne


infos: | 15mn |

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