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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne la droite $(d)$ d'équation $-3x+4y-6=0$
  1. Tracer $(d)$

    Tracer une droite


    Pour tracer une droite donnée par une équation cartésienne, on peut:
    1. choisir deux valeurs de $x$ et calculer l'ordonnée correspondante avec l'équation de $(d)$ et placer les deux points obtenus
    2. utiliser un vecteur directeur de $(d)$ et calculer l'ordonnée d'un point de $(d)$ en choisissant une valeur de $x$
    On peut aussi chercher $y$ lorsque $x=0$ puis utiliser le vecteur $ \overrightarrow{u}(-b;a)$ vecteur directeur de $(d)$.
    $ \overrightarrow{u}(-b;a)$ avec $a=-3$ (coefficient de $x$) et $b=4$ (coefficient de $y$) est un vecteur directeur de $(d)$
    donc $ \overrightarrow{u}(-4;-3)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
    si $x=0$, on a : $-3\times 0+4y-6=0 \Longleftrightarrow y=\dfrac{6}{4} \Longleftrightarrow y=\dfrac{3}{2}$
  2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ et de l'axe des abscisses
    Si on note $C$ ce point d'intersection, $C$ appartient à l'axe des abscisses donc son ordonnée $x_C=0$
    $C\in (d)$ donc ses coordonnées vérifient une équation de $(d)$
    $C$ appartient à l'axe des abscisses donc $y_C=0$
    $C\in (d)$ donc $-3x_C+4y_C-6=0$ avec $y_C=0$
    $-3x_C-6=0 \Longleftrightarrow -3x_C=6$
    $\phantom{-3x_C-6=0} \Longleftrightarrow x_C=\dfrac{6}{-3}$
    $\phantom{-3x_C-6=0} \Longleftrightarrow x_C=-2$


    On peut aussi présenter les calculs avec un système d'équations:
    Une équation de l'axe des abscisses est $y=0$
    Il faut donc résoudre:
    $\begin{cases} y=0 \\ -3x+4y-6=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} y=0 \\ -3x-6=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} y=0 \\ x=-2 \end{cases}$
  3. Déterminer une équation cartésienne de $(d_1)$ perpendiculaire à $(d)$ puis tracer $(d_1)$

    Vecteur normal


    Le plan est muni d'un repère orthonormé.
    Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ si $\overrightarrow{v}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.
    Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de $(d)$ alors$\overrightarrow{n}(a;b)$
    Le vecteur $ \overrightarrow{v}(a;b)$ avec $a=-3$ (coefficient de $x$) et $b=4$ (coefficient de $y$) est un vecteur normal à la droite $(d)$
    donc $ \overrightarrow{v}(-3;4)$ est un vecteur normal à la droite $(d)$ donc un vecteur directeur de $(d_1)$
    $(d_1)$ admet donc une équation cartésienne de la forme $-4x-3y+c=0$
    $C(-2;0)\in (d_1) \Longleftrightarrow -4x_C-3y_C+c=0$
    $\phantom{C(-2;0)\in (d_1)} \Longleftrightarrow -4\times (-2)-3\times 0+c=0$
    $\phantom{C(-2;0)\in (d_1)} \Longleftrightarrow 8+c=0$
    $\phantom{C(-2;0)\in (d_1)} \Longleftrightarrow c=-8$

    En multipliant les deux membres par $-1$, on a aussi:


    Pour tracer $(d_1)$ on peut utiliser le point $C$ et un vecteur directeur de $(d_1)$


    En utilisant GEOGEBRA et en traçant $(d)$ à partir de son équation cartésienne puis en plaçant le point C (commande: intersection) puis en traçant $(d_1)$ (commande: perpendiculaire à), on peut vérifier le calculs effectués.
  4. Déterminer une équation cartésienne de $(d_2)$ parallèle à $(d)$ passant par $D(4;0)$ puis la tracer.
    $ \overrightarrow{u}(-4;-3)$ est un vecteur directeur de $(d)$ donc de $(d_2)$
    Les coefficients de $x$ et $y$ dans une équations cartésienne de $(d_2)$ peuvent donc être identiques à ceux d'une équation cartésienne de $(d)$
    $ \overrightarrow{u}(-4;-3)$ est un vecteur directeur de $(d)$ donc de $(d_2)$
    donc $(d_2)$ admet une équation de cartésienne de la forme $-3x+4y+c=0$
    $D(4;0) \in (d_2)\Longleftrightarrow -3x_D+4y_D+c=0$
    $\phantom{D(4;0) \in (d_2)}\Longleftrightarrow -12+0+c=0$
    $\phantom{D(4;0) \in (d_2)}\Longleftrightarrow c=12$


    On peut aussi utiliser le critère de colinéarité pour déterminer une équation de $(d_2)$ (voir chapitre 5)
    $M(x;y)\in (d_2) \Longleftrightarrow \overrightarrow{DM}$ et $ \overrightarrow{u}$ colinéaires
    $\phantom{M(x;y)\in (d_2)} \Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{DM}} \times y_{ \overrightarrow{u}}-y_{ \overrightarrow{DM}} \times x_{ \overrightarrow{u}}=0$
    $\phantom{M(x;y)\in (d_2)} \Longleftrightarrow (x_M-x_D) \times (-3)-(y_M-y_D)\times (-4)=0$
    $\phantom{M(x;y)\in (d_2)} \Longleftrightarrow (x-4) \times (-3)-(y-0)\times (-4)=0$
    $\phantom{M(x;y)\in (d_2)} \Longleftrightarrow -3x+12 +4y=0$
    $\phantom{M(x;y)\in (d_2)} \Longleftrightarrow -3x+4y+12 =0$
  5. Que peut-on dire des droites $(d_1)$ et $d_2)$? Le vérifier par le calcul.
    Vérifier qu'un vecteur directeur de $(d_1)$ et un vecteur directeur de $(d_2)$ sont orthogonaux.
    $(d_1)\perp (d)$ et $(d_2)//(d)$
    donc $(d_1)\perp (d_2)$
    (rappel: lorsque deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre (propriété vue en sixième))
    $ \overrightarrow{v}(-3;4)$ est un vecteur directeur de $(d_1)$
    En reprenant le résultat précédent, $-3x+4y+12=0$est une équation cartésienne de $(d_2)$
    donc $ \overrightarrow{w}(-4;-3)$ est un vecteur directeur de $(d_2)$
    $ \overrightarrow{v}. \overrightarrow{w}=x_{ \overrightarrow{v}}\times x_{ \overrightarrow{w}}+y_{ \overrightarrow{v}}\times y_{ \overrightarrow{w}}=-3\times (-4)+4\times (-3)=0$
    donc $ \overrightarrow{v}$ et $ \overrightarrow{w}$ sont orthogonaux

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Droites perpendiculaires

- déterminer si deux droites sont perpendiculaires
- déterminer une équation cartésienne d'une perpendiculaire


infos: | mn |

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