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Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite $(d)$ d'équation $-3x -2y+4=0$ et le point $A(7;-2)$. On note $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$.
La distance entre le point $A$ et le point $H$ est la distance entre le point $A$ et la droite $(d)$.
  1. Déterminer une équation cartésienne de $(d')$ perpendiculaire à $(d)$ et passant par $A$.

    Vecteur normal


    Le plan est muni d'un repère orthonormé.
    Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ si $\overrightarrow{v}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.
    Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de $(d)$ alors$\overrightarrow{n}(a;b)$

    Équation cartésienne


    Toute droite du plan dans un repère $(O;I;J)$ admet une équation appelée équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ réel et $(a;b)\neq (0;0)$ ($a$ et $b$ ne sont pas tous deux nuls).
    Le vecteur $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de cette droite.
    Les coordonnées d'un vecteur normal à $(d)$ donc vecteur directeur de $(d')$ permettent de déterminer $a'$ et $b'$
    $A$ appartient à $(d')$
    $(d)$ a pour équation $-3x -2y+4=0$ avec $a=-3$ et $b=-2$
    donc $\overrightarrow{n}(a;b)$ soit $\overrightarrow{n}(-3;-2)$ est un vecteur normal à $(d)$ donc directeur de $(d')$.
    $\overrightarrow{n}(-b';a')$ est un vecteur directeur de $(d')$
    donc $-b'=-3$ soit $b'=3$ et $a'=-2$
    Une équation de $(d')$ est de la forme $-2x+3y+c'=0$
    $A\in (d')\Longleftrightarrow -2x_A+3y_A+c'=0$
    $~~~~~~\Longleftrightarrow -2\times 7+3\times (-2)+c'=0$
    $~~~~~~\Longleftrightarrow -20+c'=0$
    $~~~~~~\Longleftrightarrow c'=20$

  2. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $(d)$.
    Il faut résoudre le système formé avec les deux équations
    On a donc à résoudre le système d'équation suivant (résolution par combinaisons):
    $\begin{cases} -3x -2y+4=0\\ -2x+3y+20=0 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} -6x-4y+8-(-6x+9y+60)=0~~2L_1-3L_2\\ -9x-6y+12-4x+6y+40=0~~~3L_1+2L_2 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -3x -2y+4=0\\ -2x+3y+20=0 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} -6x-4y+8+6x-9y-60=0\\ -13x+52=0 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -3x -2y+4=0\\ -2x+3y+20=0 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} -13y-52=0\\ -13x+52=0 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -3x -2y+4=0\\ -2x+3y+20=0 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} y=\dfrac{52}{-13}\\ x=\dfrac{-52}{-13} \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -3x -2y+4=0\\ -2x+3y+20=0 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} y=-4\\ x=4 \end{cases}$

  3. Calculer $AH$, distance entre le point $A$ et la droite $(d)$.

    Distance dans un repère


    Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
    $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
    Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$
    $AH=\sqrt{(x_H-x_A)^2+(y_H-y_A)^2}$
    $\phantom{AH}=\sqrt{(4-7)^2+(-4-(-2))^2}$
    $\phantom{AH}=\sqrt{9+4}$
    $\phantom{AH}=\sqrt{13}$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Droites perpendiculaires

- déterminer si deux droites sont perpendiculaires
- déterminer une équation cartésienne d'une perpendiculaire


infos: | mn |

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