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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(-2;3)$ et de rayon $r=2\sqrt{5}$
On construira la figure au fil des questions avec le logiciel GEOGEBRA pour contrôler les résultats obtenus
  1. Donner une équation du cercle $\mathcal{C}$.

    Équation d'un cercle


    Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
    Le cercle $\mathcal{C}$ a pour centre $A(-2;3)$ et rayon $r=2\sqrt{5}$
    donc admet pour équation $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$ soit ici $(x-(-2))^2+(y-3)^2=(2\sqrt{5})^2$

    Dans GEOGEBRA placer, $A$ puis utiliser la commande "cercle-centre-rayon".
    Pour saisir $2\sqrt{5}$ il faut écrire 2sqrt(5).
  2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection, s'ils existent, avec l'axe des ordonnées.
    Un point $B$ appartient à l'axe des ordonnées si $x_B=0$
    $B(x_B;y_B)$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ si ses coordonnées vérifient une équation du cercle
    soit $(x_B+2)^2+(y_B-3)^2=20$
    Si on note $B(x_B;y_B)$ un point d'intersection, s'il existe, du cercle $\mathcal{C}$ avec l'axe des ordonnées, on a:
    $B\in (Oy)$ donc $x_B=0$
    $B\in \mathcal{C}\Longleftrightarrow (x_B+2)^2+(y_B-3)^2=20$
    $\phantom{B\in \mathcal{C}}\Longleftrightarrow (0+2)^2+(y_B-3)^2=20$
    $\phantom{B\in \mathcal{C}}\Longleftrightarrow 4+(y_B-3)^2=20$
    $\phantom{B\in \mathcal{C}}\Longleftrightarrow(y_B-3)^2=16$
    $\phantom{B\in \mathcal{C}}\Longleftrightarrow y_B-3=\sqrt{16}$ ou bien $y_B-3=-\sqrt{16}$
    $\phantom{B\in \mathcal{C}}\Longleftrightarrow y_B=7$ ou bien $y_B=-1$

    Dans GEOGEBRA , utiliser la commande "intersection entre deux objets" puis pointer sur le cercle et ensuite l'axe des ordonnées.


    On peut aussi contrôler le calcul en vérifiant que $B_1$ et $B_2$ appartiennent bien au cercle $\mathcal{C}$
    donc que leurs coordonnées vérifient l'équation du cercle $\mathcal{C}$
  3. La droite $(d)$ a pour équation $2x-y-3=0$.
    Montrer que $(d)$ est une tangente au cercle $\mathcal{C}$ en un point $C$ dont on précisera les coordonnées.

    Orthogonalité


    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
    $(d)$ est tangente au cercle $\mathcal{C}$ si $(d)$ coupe le cercle $\mathcal{C}$ en un seul point.
    Le point $C$ appartient à la droite $(d)$ et au cercle $\mathcal{C}$ si ses coordonnées vérifient une équation de $(d)$ et une équation du cercle $\mathcal{C}$.
    Soit $C(x;y)$ un point d'intersection, s'il existe, entre $(d)$ et $\mathcal{C}$
    donc les coordonnées de $C$ doivent vérifier une équation de $(d)$ et une équation de $\mathcal{C}$.
    Les coordonnées de $C$ doivent donc vérifier le système d'équations suivant:
    $\phantom{\Longleftrightarrow}\begin{cases} 2x-y-3=0 \\ (x+2)^2+(y-3)^2=20 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} 2x-3=y \\ (x+2)^2+(2x-3-3)^2=20 ~~~\text{On remplace }y \text{ dans la seconde équation par }2x-3 \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow \begin{cases} 2x-3=y \\ (x+2)^2+(2x-6)^2=20 \end{cases}$

    Résolution de l'équation $(x+2)^2+(2x-6)^2=20$:
    $\phantom{\Longleftrightarrow} (x+2)^2+(2x-6)^2=20$
    $\Longleftrightarrow x^2+4x+4+4x^2-24x+36=20$
    $\Longleftrightarrow 5x^2-20x+20=0$
    $\Longleftrightarrow x^2-4x+4=0$ (on divise les deux membres par 5)
    $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 1 \times 4=0$
    $\Delta=0$ donc il y a une solution (racine double)
    $x_1=\dfrac{-b}{2a}=-\dfrac{-4}{2}=2$
    On a alors $y=2\times 2-3=1$
    donc la droite $(d)$ coupe le cercle en un seul point $C(2;1)$

    Dans GEOGEBRA ,placer le point $C$ puis utiliser la commande "tangente[nom du point,nom du cercle]" pour tracer $(d)$ et contrôler que l'équation affichée est bien celle de la droite $(d)$
  4. Le point $D$ a pour coordonnées $D(-8;0)$.
    Déterminer les coordonnées du point $E$, second point d'intersection de la droite $(CD)$ et du cercle $\mathcal{C}$
    $ \overrightarrow{CD}$ est un vecteur directeur de $(CD)$ dont il faut déterminer une équation cartésienne.
    Le point $E$ appartient à la droite $(CD)$ et au cercle $\mathcal{C}$ si ses coordonnées vérifient une équation de $(CD)$ et une équation du cercle $\mathcal{C}$.
    Recherche d'une équation de la droite $(CD)$
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{CD}}=x_D-x_C=-8-2 =-10 \\ y_{ \overrightarrow{CD}}=y_D-y_C= 0-1 =-1 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{CD}( -10 ; -1 )$
    Soit $M(x;y)\in (CD)$:
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{CM}}=x_M-x_C=x-2 \\ y_{ \overrightarrow{CM}}=y_M-y_C= y-1 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{CM}(x-2 ;y-1 )$
    $\phantom{\Longleftrightarrow} \overrightarrow{CM}$ et $ \overrightarrow{CD}$ colinéaires
    $\Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{CM}}y_{ \overrightarrow{CD}}-y_{ \overrightarrow{CM}}x_{ \overrightarrow{CD}}=0$
    $\Longleftrightarrow (x-2)\times (-1)-(y-1)\times (-10)=0$
    $\Longleftrightarrow -x+2+10y-10=0$
    $\Longleftrightarrow -x+10y-8=0$


    Dans GEOGEBRA ,placer le point $D$ puis utiliser la commande "droite passant par deux points" en pointant $C$ puis $D$ et contrôler avec l'équation affichée dans la fenêtre algèbre


    $-x+10y-8=0 \Longleftrightarrow -x+10y=8$

    Soit $E(x;y)$ le second point d'intersection de $(CD)$ et $\mathcal{C}$ (on a donc $E\neq C$)
    donc les coordonnées de $E$ doivent vérifier une équation de $(CD)$ et une équation de $\mathcal{C}$.
    Les coordonnées de $E$ doivent donc vérifier le système d'équations suivant:
    $\phantom{\Longleftrightarrow}\begin{cases} -x+10y-8=0 \\ (x+2)^2+(y-3)^2=20 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} x=10y-8 \\ (10y-8+2)^2+(y-3)^2=20 ~~~\text{On remplace }x \text{ dans la seconde équation par }10y-8 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} x=10y-8 \\ (10y-6)^2+(y-3)^2=20 \end{cases}$

    Résolution de l'équation $(10y-6)^2+(y-3)^2=20$:
    $\phantom{\Longleftrightarrow} (10y-6)^2+(y-3)^2=20$
    $\Longleftrightarrow 100y^2-120y+36+y^2-6y+9=20$
    $\Longleftrightarrow 101y^2-126y+25=0$
    $\Delta=b^2-4ac=(-126)^2-4\times 101 \times 25=5576=76^2$ $\Delta>0$ donc il y a deux solutions :
    $y_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{126-76}{202}=\dfrac{50}{202}=\dfrac{25}{101}$
    $y_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{126+76}{202}=\dfrac{202}{202}=1=y_C$
    donc $y_E=\dfrac{25}{101}$
    et donc $x_E=10y_E-8=\dfrac{250}{101}-8=\dfrac{250-808}{101}=\dfrac{-558}{101}$

    Dans GEOGEBRA, utiliser la commande "intersection de deux objets" puis pointer sur le cercle puis sur la droite $(CD)$


    $x_E=\dfrac{-558}{101}\approx 5,52$ et $y_E=\dfrac{25}{101}\approx 0,25$
  5. Le cercle $\mathcal{C'}$ a pour équation $(x-1)^2+(y+6)^2=50$.
    Déterminer les coordonnées des points d'intersection, s'ils existent, du cercle $\mathcal{C}$ et du cercle $\mathcal{C'}$
    Il faut résoudre le système d'équations formé avec les équations des deux cercles
    Développer les deux expressions et soustraire les deux lignes
    (Avec GEOGEBRA, commande intersection de deux objets puis pointer sur le cercle $\mathcal{C}$ puis $\mathcal{C'}$.
    Le point $M(x;y)$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ et au cercle $\mathcal{C'}$ si ses coordonnées vérifient une équation du cercle $\mathcal{C}$ et une équation du cercle $\mathcal{C'}$.
    Les coordonnées de $M$ doivent donc vérifier le système d'équations suivant:
    $\phantom{\Longleftrightarrow}\begin{cases} (x-1)^2+(y+6)^2=50 \\ (x+2)^2+(y-3)^2=20 \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow \begin{cases} (x-1)^2+(y+6)^2-50=0 \\ (x+2)^2+(y-3)^2-20=0 \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow \begin{cases} (x-1)^2+(y+6)^2-50=0 \\ (x+2)^2+(y-3)^2-20=(x-1)^2+(y+6)^2-50 \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow \begin{cases} (x-1)^2+(y+6)^2-50=0 \\ x^2+4x+4+y^2-6y+9-20=x^2-2x+1+y^2+12y+36-50 \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow \begin{cases} (x-1)^2+(y+6)^2-50=0 \\ 4x+4-6y+9-20=-2x+1+12y+36-50 \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow \begin{cases} (x-1)^2+(y+6)^2-50=0 \\ 6x-18y+6=0 \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow \begin{cases} (x-1)^2+(y+6)^2-50=0 \\ x-3y+1=0 ~~~~\text{On divise les deux membres par 6} \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow \begin{cases} (3y-1-1)^2+(y+6)^2-50=0 ~~~~\text{On remplace }x \text{ par }3y-1\\ x=3y-1 \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow \begin{cases} (3y-2)^2+(y+6)^2-50=0 \\ x=3y-1 \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow \begin{cases} 9y^2-12y+4+y^2+12y+36-50=0 \\ x=3y-1 \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow \begin{cases} 10y^2=10 \\ x=3y-1 \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow \begin{cases} y^2=1\\ x=3y-1 \end{cases}$

    $\Longleftrightarrow \begin{cases} y=1\\ x=2 \end{cases}$ ou bien $\begin{cases} y=-1\\ x=-4 \end{cases}$


    Dans GEOGEBRA, tracer le cercle $\mathcal{C'}$ en saisissant son équation dans la barre de saisie
    Utiliser ensuite la commande "intersection de deux objets" puis pointer le cercle $\mathcal{C}$ et ensuite le cercle $\mathcal{C'}$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Droites perpendiculaires

- déterminer si deux droites sont perpendiculaires
- déterminer une équation cartésienne d'une perpendiculaire


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