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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne les points $A(2;1)$, $B(-2;3)$.
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- Déterminer et représenter l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$
Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
Valeurs remarquables du cos et du sin
méthode 1: triangle rectangle inscrit dans un cercle
Si $M$ est un point du cercle de diamètre $[AB]$, $AMB$ est un triangle rectangle en $M$
méthode 2: avec le produit scalaire de vecteurs orthogonaux
Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{BM}$
Calculer $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {BM}$ puis écrire une équation sachant que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {BM}=0$Méthode 1
$ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$ donc les vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{BM}$ sont orthogonaux
donc $AMB$ est un triangle rectangle en $M$ L
Méthode 2.avec les coordonnées
$\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-2 \\ y_{ \overrightarrow{AM}}=y_M-y_A= y-1 \end{cases}$
donc $ \overrightarrow{AM}( x-2 ; y-1 )$
$\begin{cases} x_{ \overrightarrow{BM}}=x_M-x_B=-x-(-2) =x+2\\ y_{ \overrightarrow{BM}}=y_M-y_B= y-3 \end{cases}$
donc $ \overrightarrow{BM}(x+2 ; y-3 )$
$\phantom{\Longleftrightarrow} \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$
$\Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{AM}}x_{ \overrightarrow{BM}}+y_{ \overrightarrow{AM}}y_{ \overrightarrow{BM}}=0$
$\Longleftrightarrow (x-2)\times (x+2)+(y-1)\times (y-3)=0$
$\Longleftrightarrow x^2-2x+2x-4+y^2-y-3y+3=0$
$\Longleftrightarrow x^2+y^2-4y-1=0$
$\Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2-4-1=0$
$\Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2=5$
L'ensemble des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$ est le cercle d'équation $ x^2+(y-2)^2=5$ de centre $C(0;2)$ et rayon $r=\sqrt{5}$
Avec GEOGEBRA, on peut placer les points $A$, $B$ et $C$ puis tracer le cercle de centre $C$ et rayon $[CA]$ ( ou $[CB]$)
Placer un point $M$ sur le cercle puis tracer $ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{BM}$
puis utiliser la commande ProduitScalaire[u,v](voir image ci-dessous)
pour vérifier que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$
On peut déplacer le point $M$ sur le cercle pour vérifier l'égalité demandée $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=e$ sur la figure
- Déterminer et représenter l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=5$
Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{BM}$
Calculer $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {BM}$ puis écrire une équation sachant que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {BM}=5$On a $ \overrightarrow{AM}( x-2 ; y-1 )$ et $ \overrightarrow{BM}(x+2 ; y-3 )$
$\phantom{\Longleftrightarrow} \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=5$
$\Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{AM}}x_{ \overrightarrow{BM}}+y_{ \overrightarrow{AM}}y_{ \overrightarrow{BM}}=5$
$\Longleftrightarrow (x-2)\times (x+2)+(y-1)\times (y-3)=5$
$\Longleftrightarrow x^2-2x+2x-4+y^2-y-3y+3=5$
$\Longleftrightarrow x^2+y^2-4y-1=5$
$\Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2-4-1=5$
$\Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2=10$
L'ensemble des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=5$ est le cercle d'équation $ x^2+(y-2)^2=10$ de centre $C(0;2)$ et rayon $r=\sqrt{10}$
Avec GEOGEBRA, on peut placer les points $A$, $B$ et $C$ puis tracer le cercle de centre $C$ et rayon $r=\sqrt{10}$ en utilisant la commande "cercle centre-rayon" et en saisissant sqrt(10) pour le rayon.
Placer un point $M$ sur le cercle puis tracer $ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{BM}$
puis utiliser la commande ProduitScalaire[u,v](voir image ci-dessous)
pour vérifier que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=5$
On peut déplacer le point $M$ sur le cercle pour vérifier l'égalité demandée $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=e$ sur la figure
- Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $AM^2+BM^2=12$
$AM^2=(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2=(x-2)^2+(y-1)^2$
$BM^2=(x_M-x_B)^2+(y_M-y_B)^2=(x-(-2))^2+(y-3)^2=(x+2)^2+(y-3)^2$
$AM^2+BM^2=12 \Longleftrightarrow (x-2)^2+(y-1)^2+(x+2)^2+(y-3)^2=12$
$\phantom{AM^2+BM^2=12} \Longleftrightarrow x^2-4x+4+y^2-2y+1+x^2+4x+4+y^2-6y+9=12$
$\phantom{AM^2+BM^2=12} \Longleftrightarrow 2x^2+2y^2-8y=-6$
$\phantom{AM^2+BM^2=12} \Longleftrightarrow x^2+y^2-4y=-3$ (on divise les deux membres par 2)
$\phantom{AM^2+BM^2=1} \Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2-4=-3$
$\phantom{AM^2+BM^2=1} \Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2=1$
donc l'ensemble des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=12$ est le cercle de centre $D(0;2)$ et rayon $r=\sqrt{1}=1$
Avec GEOGEBRA, on peut placer les points $A$, $B$ et $D$ puis tracer le cercle de centre $D$ et rayon $r=1$ en utilisant la commande "cercle centre-rayon", en pointant le point $D$ puis en saisissant 1 pour le rayon.
Placer un point $M$ sur le cercle puis saisir $AM^2+BM^2$ dans la barre de saisie
On peut déplacer le point $M$ sur le cercle pour vérifier l'égalité demandée $AM^2+BM^2=e=12$ sur la figure
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Déterminer le centre et le rayon d'un cercle
- déterminer si une équation correspond à celle d'un cercle
- déterminer le centre et le rayon d'un cercle défini par une équation cartésienne
infos: | 3mn45smn |
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