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Dans un jeu, le joueur décide de miser une somme de $p$ euros puis tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes (qui contient donc 4 as, 4 rois, 4 dames et 4 valets plus les autres cartes qui ne sont pas des figures).
Si la carte tirée est:
- un as, le joueur gagne 10 fois sa mise.
- un roi, le joueur gagne 5 fois sa mise.
- une dame ou un valet un valet, le joueur gagne 2 fois sa mise.
Dans les autres cas, le joueur récupère sa mise mais perd 10 euros.
On considère que chaque carte a la même probabilité d'être tirée et on nomme $G$ la variable aléatoire donnant bénéfice du joueur après le jeu (en tenant compte de la mise).
  1. Déterminer la loi de probabilité de $G$.

    Variable aléatoire et loi de probabilité


    Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
    Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $
    Identifier les différentes valeurs possibles de $G$ en tenant compte de la mise, par exemple, pour un as, le bénéfice du joueur sera de $10p-p$ euros....
    On a donc quatre cas possibles:
    -Si le joueur tire un as, il gagne $g_1=10p-p=9p$
    - Si le joueur tire un roi, le joueur gagne $g_2=5p-p=4p$ euros
    -Si le joueur tire une dame ou un valet, le joueur gagne $g_3=2p-p=p$ euros
    -Si le joueur tire une autre carte, il perd 2 euros soit un bénéfice de $g_4=-10$ euros.
    La loi de probabilité de $G$ est donc la suivante:
  2. Calculer $E(G)$ en fonction de $p$.

    Espérance-variance-écart type


    L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
    $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
    La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
    $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$

    ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$

    L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
    $E(G)=9p\times \dfrac{4}{52}+4p \times \dfrac{4}{52}+p\times \dfrac{8}{52}-10\times \dfrac{36}{52}$

    $\phantom{E(G)}=\dfrac{36p+16p+8p-360}{52}$

    $\phantom{E(G)}=\dfrac{60p-360}{52}$

    Sur un grand nombre de parties, le bénéfice du joueur sera en moyenne de $\dfrac{60p-360}{52}$ euros par partie jouée.
  3. En déduire la mise minimale que doit faire un joueur faisant un grand nombre de parties pour que le jeu lui soit favorable. (il ne perd pas d'argent après avoir joué ces parties)
    Le bénéfice moyen du joueur sur un grand nombre de parties est $E(G)$ donc il faut résoudre $E(G)\geq 0$
    Il faut résoudre $E(G)\geq 0$
    $E(G)\geq 0 \Longleftrightarrow \dfrac{60p-360}{52}\geq 0$

    $\phantom{E(G)\geq 0} \Longleftrightarrow 60p-360\geq 0$

    $\phantom{E(G)\geq 0} \Longleftrightarrow 60p\geq 360$

    $\phantom{E(G)\geq 0} \Longleftrightarrow p\geq \dfrac{360}{60}$

    $\phantom{E(G)\geq 0} \Longleftrightarrow p\geq 6$


    Le joueur doit miser au minimum 6 euros par partie pour espérer que le jeu lui soit favorable sur un grand nombre de parties.

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