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Dans chaque cas, calculer la dérivée des fonctions suivantes définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ et donner le sens de variation de la fonction
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- $f(x)=x+e^x$
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Signe de exp(x)
Pour tout réel $x$ on a $e^x>0$$f~'(x)=1+e^x$
Pour tout réel $x$, $e^x>0$
donc $1+e^x>0$
donc $f~'(x)>0$ sur $\mathbb{R}$
Avec CASIO graphique:
Penser à contrôler le calcul de $f~'(x)$ avec le MENU TABLE de la calculatrice (voir fiche méthode Contrôler le calcul d'une dérivée avec la calculatrice CASIO)
MENU TABLE: saisir Y1=f(x) et Y2=f'(x)
SET OPTIONS vérifier que DERIVATIVE est sur ON
puis contrôler que $Y'1=Y2$ - $f(x)=-2e^x+3$
- $f(x)=xe^x-3$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^x$ (produit $uv$) et on dérive $-3$On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^x$
et on a $u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x$
$f~'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)+0$
$\phantom{f~'(x)}=1e^x+xe^x$
$\phantom{f~'(x)}=e^*x(x+1)$ Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$
donc $e^x>0$
donc $f'(x)$ est du même signe que $x+1$
$x+1>0 \Longleftrightarrow x>-1$
donc $f'(x)>0$ pour $x>-1$ et $f'(x)<0$ pour $x<-1$
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