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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(ax+b)e^x$ avec $a$ et $b$ réels.
  1. Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.

    Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$


    La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$

    La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    On pose $u(x)=ax+b$ et $v(x)=e^x$
    On pose $u(x)=ax+b$ et $v(x)=e^x$
    et on a $u'(x)=a$ et $v'(x)e^x$
    $f'(x)=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)$
    $\phantom{f'(x)}=ae^x+(ax+b)e^x$
    $\phantom{f'(x)}=e^x(a+ax+b)$
  2. La représentation graphique de $f$ est donnée ci-dessous et $T$ est la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse $0$.

    Déterminer graphiquement $f(0)$ et $f'(0)$.

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$


    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
    $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $T$
    $f(0)=y_A=3$
    $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe au point $A$ d'abscisse $0$.
    Cette tangente passe par $A(0;3)$ et $B(1;8)$.
    donc $f'(0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5}{1}=5$
  3. En utilisant les questions précédentes, déterminer $a$ et $b$.
    On peut écrire deux équations d'inconnues $a$ et $b$ en utilisant $f(0)=3$ et $f'(0)=5$
    $f(0)=(a\times 0+b)e^0=b$ car $e^0=1$
    $f(0)=3\Longleftrightarrow b=3$
    donc $f(x)=(ax+3)e^x$
    $f'(x)=e^x(a+ax+b)$ donc $f'(0)=e^0(a+a\times 0+3)=a+3$
    $f'(0)=5\Longleftrightarrow a+3=4 \Longleftrightarrow a=2$

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