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Dans chaque cas, déterminer, si cela est possible $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{g(x)}$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{g(x)}{f(x)}$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}$
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- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=3$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$Utiliser les résultats des limites pour une somme, un produit et un quotient.
Il faut essayer de déterminer ces limites de manière "intuitive" sans nécessairement connaître tous les résultats.
Il faut par contre connaître les cas d'indétermination.En utilisant le quotient des limites, on a:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{3}$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{g(x)}=0$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{g(x)}{f(x)}=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$ - $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0^+$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$Opérations sur les limites
En utilisant le quotient des limites, on a:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{g(x)}=0$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{g(x)}{f(x)}=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$ - $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0^+$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=0^-$Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...En utilisant le quotient des limites, on a:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{g(x)}=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{g(x)}{f(x)}$ est indéterminée
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ est indéterminée
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