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Déterminer les limites suivantes et interpréter graphiquement quand cela est possible.
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- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x+x$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x+x$
limites usuelles
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^n=+\infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x^n}=0$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x^n}=\pm \infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
Limites de la fonction exponentielle(vue en première)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}e^x=0$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}e^x=+\infty$ $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x^n=\pm \infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{1}{x^n}=0$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{x}=+ \infty$ ($n\in \mathbb{N}^*$)
Limites de la fonction $ln$ (chapitre fonction $ln$)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$
Il n'y a pas indétermination donc on cherche la limite de chaque terme.$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} x=-\infty$
- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{e^x+1}$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{1}{e^x+1}$
Opérations sur les limites
Il n'y a pas indétermination donc on cherche la limite du dénominateur puis du quotient$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x+1=+\infty$
La représentation graphique de $f$ admet donc une asymptote d'équation $y=0$ (axe des abscisses) en $+\infty$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x+1=1$
La représentation graphique de $f$ admet donc une asymptote d'équation $y=1$ (axe des abscisses) en $-\infty$. - $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2e^x$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{e^x}{x}$
Opérations sur les limites
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} x=-\infty$
La représentation graphique de $f$ admet donc une asymptote d'équation $y=0$ (axe des abscisses) en $-\infty$.
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