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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

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Déterminer les limites suivantes et interpréter graphiquement quand cela est possible.
  1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x^2}$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{e^x}{x^2}$

    Cas d'indétermination


    $+\infty-\infty$
    $0\times \pm \infty$
    $\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
    $\dfrac{0}{0}$
    Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...

    Croissances comparées de $x^n$ et $e^x$


    $n\in \mathbb{N}^*$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$
    Il y a indétermination en $+\infty$
    On a $e^{2x}=e^xe^x$

    Il y a indétermination en $+\infty$ car $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{x}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2=+\infty$
    Il faut utiliser les croissances comparées (résultat du cours)

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} x^2=+\infty$

    La courbe admet une asymptote d'équation $y=0$ en $-\infty$.
  2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x-x$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x-x$

    Cas d'indétermination


    $+\infty-\infty$
    $0\times \pm \infty$
    $\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
    $\dfrac{0}{0}$
    Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...

    Croissances comparées de $x^n$ et $e^x$


    $n\in \mathbb{N}^*$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$
    Il y a indétermination en $+\infty$
    On a $e^x-x=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right)$

    Il y a indétermination en $+\infty$ car $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{x}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} - x=-\infty$
    Pour tout réel $x>0$, on a $e^x-x=x\left(\dfrac{e^x}{x}-1\right)$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x}-1=+\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x=+\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x=0$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} -x=+\infty$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Croissance comparée de $e^x$ et $x^n$ en $+\infty$

- rappels de cours
- utilisation pour lever une forme indéterminée


infos: | 10-12mn |

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