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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $[0;5]$ par $f(x)=-x^3+2x^2-x-5$.
  1. Calculer $f'(x)$, étudier son signe.

    Dérivées usuelles


    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    Il faut étudier le signe de $f'(x)$ polynôme de degré 2
    $f'(x)=-3x^2+2\times 2x-1+0=-3x^2+4x-1$


    -Recherche des racines de $-3x^2+4x-1$
    $\Delta=b^2-4ac=(4^2)-4\times (-3)\times (-1)=16-12=4$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -4+2 }{-6 }=\dfrac{-2}{-6}=\dfrac{1}{3}$
    et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -4-2 }{-6 }=1$
    Contrôler les racines avec la calculatrice
    -Signe de $-3x^2+4x-1$
    $f'(x)$ est du signe de $a=-3$, coefficient de $x^2$ à "l'extérieur" des racines

    On a donc:
  2. Dresser le tableau de variations de $f$.
    Rappel su $f'(x)>0$ alors $f$ est croissante
    En utilisant le tableau de signes de $f'(x)$, on a:

    avec $f(0)=-0^3+2\times 0^2-0-5=-5$
    $f(1)=-1^3+2\times 1^2-1-5=-5$
    $f(5)=-5^3+2\times 5^2-5-5=-85$
    $f(\dfrac{1}{3})=-\left( \dfrac{1}{3}\right)^3+2\times \left( \dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{1}{3}-5$
    $\phantom{f(\dfrac{1}{3})}=-\dfrac{1}{27}+ \dfrac{2}{9}-\dfrac{1}{3}-5$
    $\phantom{f(\dfrac{1}{3})}=-\dfrac{1}{27}+ \dfrac{6}{27}-\dfrac{9}{27}-\dfrac{135}{27}$
    $\phantom{f(\dfrac{1}{3})}=-\dfrac{139}{27}$

    On peut aussi calculer $f(1)$ et $f(\dfrac{1}{3})$ avec le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant l'expression de $f(x)$ dans Y1.

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