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Calculer la dérivée de $f$ définie et dérivable sur l$I$ dans les cas suivants
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- $f(x)=(2x-3)^3$ sur $I=\mathbb {R}$
Dérivée d'une fonction composée
$u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.On pose $u(x)=2x-3$ et $v(x)=x$$f$ est la composée de la fonction affine $x\longmapsto 2x-3$ et de la fonction cube
On pose $u(x)=2x-3$ et $v(x)=x^3$ et on a $f(x)=vou(x)$
$u'(x)=2$ et $v'(x)=3x^2$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)$
=3(2x-3)^2\times 2
$=6(2x-3)^2$
- $f(x)=\sqrt{3-x}$ sur $I=]-\infty;3[$
Dérivées usuelles
Dérivée d'une fonction composée
$u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.On pose $u(x)=3-x$ et $v(x)=\sqrt{x}$$f$ est la composée de la fonction affine $x\longmapsto 3-x$ et de la fonction racine carrée
On pose $u(x)=3-x$ et $v(x)=\sqrt{x}$ et on a $f(x)=vou(x)$
$u'(x)=-1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{3-x}}\times (-1)=\dfrac{-1}{2\sqrt{3-x}}$
- $f(x)=e^{3x-1}$ sur $I=\mathbb {R}$
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$On pose $u(x)=3x-1$ et $v(x)=e^x$ et on a $f(x)=vou(x)$$f$ est la composée de la fonction affine $x\longmapsto 3x-1$ et de la fonction exponentielle
On pose $u(x)=3x-1$ et $v(x)=e^x$ et on a $f(x)=vou(x)$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=e^{3x-1}\times 3=3e^{3x-1}$
- $f(x)=cos(3x+\pi)$ sur $I=\mathbb{R}$
Dérivée de cosinus et sinus
Les fonctions cosinus et sinus sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ et on a:
$(cos(x))'=-sin(x)$
$(sin(x))'=cos(x)$On pose $u(x)=3x+\pi$ et $v(x)=cos(x)$ et on a $f(x)=vou(x)$$f$ est la composée de la fonction affine $x\longmapsto 3x+\pi$ et de la fonction cosinus
On pose $u(x)=3x+\pi$ et $v(x)=cos(x)$ et on a $f(x)=vou(x)$
$u'(x)=3$ et $v'(x)=-sin(x)$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=-sin(3x+\pi)\times 3=-3sin(3x+\pi)$
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