On pose $u(x)=4-2x$ et $v(x)=e^x$ et on a $f(x)=vou(x)+2x+1$
$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$u'(x)=-2$ et $v'(x)=e^x$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)+2\times 1+0=e^{4-2x}\times (-2)+2=-2e^{4-2x}+2$
$f'(x)=-2e^{4-2x}+2$

$-2e^{4-2x}+2>0$
$\Longleftrightarrow -2e^{4-2x}>-2$
$\Longleftrightarrow e^{4-2x}<\dfrac{-2}{-2}$ l'inégalité change de sens en divisant par $-2$
$\Longleftrightarrow e^{4-2x}<1$
$\Longleftrightarrow e^{4-2x} < e^0$
$\Longleftrightarrow 4-2x < 0$
$\Longleftrightarrow -2x < -4$
$\Longleftrightarrow x > 2$ l'inégalité change de sens en divisant par $-2$
donc lorsque $x>2$ on a $-2e^{4-2x}+2>0$ donc $f'(x)>0$
donc $f$ est croissante sur $]2;+\infty[$ et décroissante sur $]-\infty;2[$.