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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ réels.
On donne ci-dessous la représentation graphique $C_f$ de $f$ et la droite $T$ est la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 2.
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On donne ci-dessous la représentation graphique $C_f$ de $f$ et la droite $T$ est la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 2.

- Déterminer graphiquement $f(0)$, $f(2)$ puis $f'(2)$
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Graphiquement, le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 est $f'(2)$Le point de coordonnées $(0;1)$ appartient à la courbe $C_f$ donc $f(0)=1$
Le point de coordonnées $(2;3)$ appartient à la courbe $C_f$ donc $f(2)=3$
$f'(2)$ est le coefficient directeur de la droite T passant par les points de coordonnées $(2;3)$ et $(1;-2)$
donc $f'(2)=\dfrac{-2-3}{1-2}=5$
- Exprimer $f'(x)$ en fonction des réels $a$ et $b$.
Dérivées usuelles
On dérive selon la variable $x$, $a$ , $b$ et $c$ sont des constantes.$f'(x)=a\times 2x+b\times 1+0=2ax+b$ - En déduire la valeur des réels $a$ , $b$ et $c$
On peut utiliser la question 1 et exprinmer $f(0)$, $f(2)$ et $f'(2)$ en fonction de $a$ , $b$ et $c$
à savoir $f(0)=a\times 0^2+b\times 0+c=1$.....$f(0)=a\times 0^2+b\times 0+c=1 \Longleftrightarrow c=1$
donc $f(x)=1x^2+bx+1$
$f(2)=a\times 2^2+b\times 2+1=3 \Longleftrightarrow 4a+2b=2 \Longleftrightarrow 2a+b=1$
$f'(2)=2a\times 2+b=-5 \Longleftrightarrow 4a+b=5$
Il faut donc résoudre le système d'équations suivant:
$\begin{cases} 2a+b=1 \\ 4a+b=5 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 2a=4 \text{ L2-L1} \\ -b=3 \text{ L2-2L1} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} a=2 \\ b=-3 \end{cases}$
On peut aussi résoudre le système par substitution en isolant par exemple $b$ dans la première équation et en le remplaçant par $1-2a$ dans la seconde équation soit $4a+1-2a=5$
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