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Plus d'infos
  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 3 Dérivation-continuité-convexité
  3. exercice corrigé nº1168

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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^3+x^2-x-1$.
On donne ci-dessous la représentation graphique $C_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

  1. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse 1 et la tracer dans le repère ci-dessus.

    Rappel de cours

    Dérivées usuelles

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$

    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

    Aide

    Il faut calculer $f~'(x)$ puis $f(1)$ et $f~'(1)$

    Solution

    $f~'(x)=-2\times 3x^2+2x-1+0=-6x^2+2x-1$
    $f~'(1)=-6\times 1^2+2-1=-5$
    $f(1)=-2\times (1)^3+1-1-1=-3$
    On a donc:
    $y=f~'(1)(x-1)+f(1)$
    $\phantom{y}=-5(x-1)-3$
    $\phantom{y}=-5x+5-3$
    $\phantom{y}=-5x+2$

    $T$ passe par le point $A(1;-3)$ et a pour coefficient directeur $-5$.
    $T$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 2.
  2. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T'$ à la courbe au point d'abscisse 0 et la tracer dans le repère ci-dessus.

    Aide

    Il faut calculer $f~'(x)$ puis $f(0)$ et $f~'(0)$

    Solution

    $f~'(x)=-6x^2+2x-1$
    $f~'(0)=-6\times 0^2+2\times 0-1=-1$
    $f(0)=-2\times (0)^3+0-0-1=-1$
    On a donc:
    $y=f~'(0)(x-0)+f(0)$
    $\phantom{y}=-1(x-0)-1$
    $\phantom{y}=-x-1$

    $T'$ passe par le point $B(0;-1)$ et a pour coefficient directeur $-1$.

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