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On considère la fonction $f$ définie sur $[0;5]$ par $f(x)=x^3-2x^2+3x-1$.
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- Calculer $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$Pour déterminer les variations de la fonction $f$, il faut étudier les signe de $f'(x)$
Pour étudier le signe d'un polynôme de degré 2, il faut chercher ses racines.$f'(x)=3\times x^2-2\times 2x+3+0=3x^2-4x+3$
Rappel: Pour étudier les variations de $f$, il faut déterminer le signe de sa dérivée.
Etude du signe de $f'(x)=3x^2-4x+3$ sur $[0;5]$:
$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 3 \times 3=16-36=-20$
Il n'y a pas de racines et donc $f'(x)$ est du signe du coefficient $a=3$ de $x^2$ soit $f'(x)>0$
$f(0)=0^3-2\times 0^2+3\times 0-1=-1$ et $f(5)=5^3-2\times 5^2+3\times 5-1=89$
On a donc:
- Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $[0;5]$.
Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).Pour justifier que l'équation $f(x)=0$ admet une seule solution, il faut:
$f$ continue sur I (intervalle de $\mathbb{R}$)
0 compris entre $f(a)$ et $f(b)$ avec $a$ et $b$ dans l'intervalle I
$f$ strictement croissante ou strictement décroissante (c'est à dire $f$ monotone) sur IOn a $f(0)=-1$, $f(5)=89$
$f$ est continue (fonction polynôme) et 0 est compris entre $f(0)$ et $f(5)$
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $[0;5 ]$.
De plus $f$ est strictement croissante sur $[0;5]$
- Avec la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=0$.
Utiliser le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant la fonction $f$ puis en paramétrant dans SET XSTART=0, XEND=5 et STEP=1, puis en encadrant $\alpha$ à l'unité, modifier XSTART , XEND en conséquence et STEP=0,1 et ainsi de suite jusqu'à la précision du centième.Voir fiche méthode : encadrement de la solution d'une équation à la calculatrice.
Avec le menu table de la calculatrice, dans le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant la fonction $f$ puis en paramétrant dans SET XSTART=0, XEND=5 et STEP=1, on a alors:
On a alors $f(0)<0$ et $f(1)>0$ donc $0 < \alpha <1$
On reprend avec XSTART=0, XEND=1 et STEP=0,1 (pour encadrer aux dixièmes):
On a alors $f(0,4)<0$ et $f(0,5)>0$ donc $0,4 < \alpha <0,5$
On reprend avec XSTART=0,4, XEND=0,5 et STEP=0,01 (pour encadrer aux centièmes):
On a alors $f(0,43)<0$ et $f(0,44)>0$ donc $0,43 < \alpha <0,44$
- En déduire la valeur arrondie aux dixièmes de $\alpha$.
$0,43 < \alpha < 0,44$
Le chiffre des centièmes est inférieur à 5 donc $\alpha \approx 0,4$.
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Théorème des valeurs intermédiaires
- théorème des valeurs intermédiaires
- unicité de la solution avec une fonction monotone
- encadrement de la solution
- cas d'une fonction non monotone
- exemples
infos: | 15mn |
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